Feladat: B.3322 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andrássy Zoltán ,  Bagdi Gábor ,  Bálint Gergely ,  Bartos Imre ,  Belső Róbert ,  Besenyei Balázs ,  Birkner Tamás ,  Boróczki Lajos ,  Budai Dénes ,  Buti Tamás ,  Csóka Endre ,  Deli Lajos ,  Enyedi Gábor ,  Gáspár Orsolya ,  Hablicsek Márton ,  Horváth László ,  Kiss Zsuzsanna ,  Kovács Dóra Judit ,  Kovács Erika ,  Major Gergely ,  Nyul Balázs ,  Pilissy György ,  Pszota Zsolt ,  Rácz Béla András ,  Ruppert László ,  Sipos Szabó Eszter ,  Siroki László ,  Siska Ádám ,  Stépán József ,  Szekeres Balázs ,  Tóth Szilveszter ,  Turchányi Márton 
Füzet: 2000/május, 290 - 291. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térelemek és részeik, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/december: B.3322

Legfeljebb hány részre osztja a teret 4 olyan sík, amely egy ponton halad át?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Ha van olyan egyenes, amelyen a megadott síkok közül kettőnél több megy át, akkor a létrejövő térrészek száma 8 ‐ ha a négy sík egy egyenesen megy át ‐, vagy 12, ha a síkok egyike metszi a másik három sík közös egyenesét.
Ha ilyen egyenes nincsen, akkor a síkok egyikét párhuzamosan eltolva létrejön egy újabb ‐ korlátos ‐ térrész: annak a tetraédernek a belseje, amelynek az eltolt sík és a másik három a négy lapsíkja.
Ennek a tetraédernek a lapsíkjai 15 részre osztják a teret, hiszen minden csúcshoz (4), élhez (6) és laphoz (4) csatlakozik egy-egy térrész, a 15-ödik rész pedig a tetraéder belseje.
Az eltolt síkot eredeti helyzetébe visszatolva ez a korlátos térrész megszűnik, a nem korlátos részek megmaradnak, így azt kapjuk, hogy a négy sík a teret legfeljebb 14 részre osztja.
 Tóth Szilveszter (Tata, Eötvös J. Gimn., 11. o.t.)

 
II. megoldás. Vizsgáljuk meg, hogy n darab síkhoz egy (n+1)-ediket véve hogyan változik a térrészek száma. Ezt a síkot a meglévő n sík egy-egy egyenesben metszi; ez az n darab egyenes áthalad a síkok közös pontján (pontjain), és az (n+1)-edik síkot legfeljebb 2n részre osztja. E részek mindegyike pontosan egy új térrészt határol, így az (n+1)-edik sík fölvételével a térrészek száma legfeljebb 2n-nel nő. Ez lehetséges is, ha az n darab egyenes között nincsenek azonosak, a tér bármely egyenesén legfeljebb kettő halad át a megadott síkok közül.
A fenti eredmény alapján kapjuk az alábbi táblázatot:
 
  síkok száma (n)    térrészek száma (Rn)     1    2     2    2+21=4     3    4+22=8     4    8+23=14  
 

Ezek szerint ha négy sík egy ponton halad át, akkor legfeljebb 14 részre osztja a teret.
 
Megjegyzések. 1. Az első megoldás pongyolábban, de nagyon szemléletesen is elmondható: tekintsünk egy tetraédert, illetve azt a 15 részt, amelyre a lapsíkok a teret osztják. Ha ,,nagyon'' messzire távolodunk a tetraédertől, akkor az ,,ponttá zsugorodik'', a 14 darab nemkorlátos térrész viszont megmarad, így a feladat kérdésére a válasz 14.
 
2. Egy másik módszerrel is célhoz érhetünk. Írjunk a síkok közös pontja köré egy gömböt. Ezt a gömböt a síkok egy-egy főkörben metszik, amelyek a gömb felületét részekre osztják. Minden térrésznek pontosan egy ilyen tartomány felel meg a gömbfelületen.
A kérdés tehát úgy szól, hogy 4 darab főkör hány részre osztja a gömbfelületet. Ha a gömb olyan P pontjából, amelyen keresztül nem halad kör, a P-vel átellenes pontba húzott érintősíkra vetítjük a gömböt, akkor ismeretes, hogy a gömbfelület képe a teljes sík, a körök képe pedig kör. Így az eredeti kérdést átfogalmaztuk: legfeljebb hány részre osztja a síkot 4 körvonal. A két feladat tehát ekvivalens, az utóbbi formájában pedig jóval ismertebb.
 
3. A második megoldásban az R1=2; Rn+1=Rn+2n rekurziót kapjuk a létrejövő térrészek Rn számára, a rekurzió megoldása: Rn=n2-n+2.