Feladat: C.559 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2000/április, 212 - 213. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenes körkúpok, Csonkakúp, Térfogat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/november: C.559

Egy kúpba (csúcsával lefelé tartva) vizet töltünk, így a víz 10cm magasan áll benne. Nyílását lezárva alaplapjára állítjuk a kúpot, így most 2cm magasan áll benne a víz. Milyen magas a kúp?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az első esetben a víz térfogata V1, egyenlő egy olyan kúp térfogatával, amelynek magassága 10 cm. Jelöljük az eredeti kúp magasságát m-mel és a térfogatát V-vel.
Ismeretes, hogy V1V=103m3, innen V1=V103m3.
A második esetben az üres kúprész térfogata V2, és V2V=(m-2)3m3. Mivel a víz térfogata nem változott közben, nyilván igaz, hogy V1+V2=V, azaz

V103m3+V(m-2)3m3=V.
V-vel egyszerűsítve (V0) és rendezve az egyenletet, azt kapjuk, hogy
6m2-12m-992=0.
Az egyenlet két valós gyökének a szorzata negatív, így az egyértelmű pozitív gyököt kell figyelembe venni. A kúp magassága 13,897 cm.