Kezdőlap


Feladat:	A.220	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dénes Attila , Enyedi Gábor , Gyenes Zoltán , Harangi Viktor , Kiss Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Nagy Zoltán , Pálvölgyi Dömötör , Pozsár Balázs , Sido Péter , Varjú Péter , Zábrádi Gergely
Füzet:	2000/március, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Tizes alapú számrendszer, Sorozat határértéke, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/október: A.220

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $k$ rögzített pozitív egész. Tetszőleges $n$ -re jelölje $2^{n}$ tízes számrendszerbeli felírásában $c_{n}$ az utolsó $k$ számjegy által alkotott egészt, $b_{n}$ az előtte levő $3 k$ jegy által alkotott számot, végül $a_{n}$ az összes ezek előtt álló számjegyből alkotott számot.

\begin{matrix} \begin{matrix} 2^{n} = 10^{4 k} a_{n} + 10^{k} b_{n} + c_{n}, \end{matrix} \end{matrix}

ahol

0 \leq b_{n} < 10^{3 k}

és

0 < c_{n} < 10^{k}

. (A

c_{n}

nem lehet 0, mert például

2^{n}

utolsó jegye sem 0.)
Ha

n \geq 4 k

, akkor a

10^{k} b_{n} + c_{n} = 2^{n} - 10^{4 k} a_{n}

szám osztható

2^{4 k}

-nal, a

c_{n}

szám viszont nem, mert

0 < c_{n} < 10^{k} < 2^{4 k}

. Emiatt

b_{n}

nem lehet 0.
Legyen most

n \geq 4^{m}

, és tekintsük

2^{n}

utolsó

4^{m}

jegyét. Az előbbi meggondolást

k = 4^{0}

4^{1}

...

4^{m - 1}

-re megismételve ki tudunk jelölni összesen

m

darab olyan páronként diszjunkt számjegyhalmazt, amelyek mindegyikében szerepel legalább egy 0-tól különböző számjegy. Ezért

n \geq 4^{m}

esetén

S (2^{n}) > m

. A határárték tehát tetszőleges valós számnál nagyobb:

\infty