|
Feladat: |
A.218 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Breuer János , Csóka Endre , Gyenes Zoltán , Harangi Viktor , Iván Szabolcs , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Pálvölgyi Dömötör , Reviczky Ádám János , Székelyhidi Tamás , Tóth Ferenc , Vizer Máté , Zábrádi Gergely |
Füzet: |
2000/március,
165 - 166. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Függvényegyenletek, Logaritmusos függvények, Függvények folytonossága, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1999/október: A.218 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A függvényegyenletet átírva a függvényre Ezt felírva a 0 és számokra is, | | (2) |
Bevezetve a függvényt, (2) a alakba írható. A függvény folytonos és additív, tehát egy alkalmas valós számmal. A jelöléssel . Ezt visszahelyettesítve (1)-be ami kétféleképpen lehetséges: és tetszőleges valós szám, vagy . Az (1) egyenletnek ezek a megoldásai. A megoldásokat visszaírva -be, az első esetben a második esetben A függvényegyenletnek tehát a konstans 1 és a alakú () függvények tesznek eleget.
Megjegyzés. A megoldás hasonlóan megy akkor is, ha nem kötjük ki a folytonosságot, csak a additív függvényt nem lehet olyan egyszerűen felírni. A (3) egyenlet helyett azt kapjuk, hogy tetszőleges -re Az helyettesítésből és , azaz egy projekció. Könnyű ellenőrizni, hogy ez a két feltétel elégséges is, azaz (1) megoldásai a alakú függvények, ahol tetszőleges projekció.
|
|