Feladat: A.218 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Breuer János ,  Csóka Endre ,  Gyenes Zoltán ,  Harangi Viktor ,  Iván Szabolcs ,  Keszegh Balázs ,  Kiss Gergely ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Pálvölgyi Dömötör ,  Reviczky Ádám János ,  Székelyhidi Tamás ,  Tóth Ferenc ,  Vizer Máté ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 2000/március, 165 - 166. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Logaritmusos függvények, Függvények folytonossága, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/október: A.218

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A függvényegyenletet átírva a g(x)=logf(e-x) függvényre

g(g(x+y))=g(x)+g(y).(1)
Ezt felírva a 0 és x+y számokra is,
g(x)+g(y)=g(g(x+y))=g(g(0+(x+y)))=g(0)+g(x+y).(2)

Bevezetve a h(x)=g(x)-g(0) függvényt, (2) a h(x+y)=h(x)+h(y) alakba írható. A h függvény folytonos és additív, tehát h(x)=ax egy alkalmas x valós számmal. A g(0)=b jelöléssel g(x)=ax+b. Ezt visszahelyettesítve (1)-be
(a2-a)(x+y)+(a-1)b=0,(3)
ami kétféleképpen lehetséges: a=1 és b tetszőleges valós szám, vagy a=b=0. Az (1) egyenletnek ezek a megoldásai.
A megoldásokat visszaírva f-be, az első esetben
f(x)=e-g(logx)=e-bx,
a második esetben
f(x)=1.

A függvényegyenletnek tehát a konstans 1 és a cx alakú (c>0) függvények tesznek eleget.
 
Megjegyzés. A megoldás hasonlóan megy akkor is, ha nem kötjük ki a folytonosságot, csak a h additív függvényt nem lehet olyan egyszerűen felírni. A (3) egyenlet helyett azt kapjuk, hogy tetszőleges x-re
h(h(x))-h(x)=b-h(b).(4)

Az x=0 helyettesítésből h(b)=b és h(h(x))=h(x), azaz h egy projekció. Könnyű ellenőrizni, hogy ez a két feltétel elégséges is, azaz (1) megoldásai a g(x)=h(x+c) alakú függvények, ahol h tetszőleges projekció.