|
Feladat: |
B.3351 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Andrássy Zoltán , Antal István , Babos Attila , Bálint Gergely , Balka Richárd , Béky Bence , Bérczi Kristóf , Besenyei Ádám , Boros Vazul , Csaszny Tamás , Csikvári Péter , Csóka Endre , Deli Lajos , Gerencsér Balázs , Győri Nikolett , Hablicsek Márton , Hargitai Gábor , Kovács Erika Renáta , Kunszenti-Kovács Dávid , Malakuczi Viktor , Máthé András , Nagy Ambrus , Pacz Bence Tamás , Pallos Péter , Papp Dávid , Simon Győző , Siroki László , Somogyi Dávid , Soproni Péter , Ta Vinh Thong , Tolvaj Nándor , Tolvaj Nóra , Vajda Péter , Vígh Viktor , Vitéz Ildikó , Zalán Péter , Zavarkó Gábor |
Füzet: |
2000/november,
484 - 485. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Köréírt gömb, Körök, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2000/február: B.3351 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Belátjuk, hogy a feladat kérdésére igenlő a válasz. Gömbfelület helyett az egyszerűség kedvéért gömbről beszélünk majd. Jelölje a körvonalakat , , , , középpontjaikat rendre , , , . Ekkor a körvonalat tartalmazó gömbök középpontjainak mértani helye a síkjára merőleges, -n átmenő egyenes.
1. ábra Az egyenesek közül bármely kettőnek van közös pontja, mert bármely két körvonalra létezik őket tartalmazó gömb. Az egyenesek közül semelyik 4 nincs egy síkban, mert különben a rajtuk levő gömbközéppontok is egy síkban lennének. Ebből az is következik, hogy az egyenesek közül legfeljebb kettő eshet egybe. Ha viszont a térben véges sok egyenes közül bármely kettő metszi egymást, akkor ezek az egyenesek vagy egy ponton mennek át, vagy pedig egy síkban vannak (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet, 1710. feladat). Esetünkben tehát az egyeneseknek egy ponton kell átmenniük. Legyen ez a pont . Megmutatjuk, hogy van olyan középpontú gömb, amely valamennyi körvonalat tartalmazza. Ha az egyenesek közt van két egybeeső, akkor válasszuk úgy a jelölést, hogy és essenek egybe. Mivel és köré gömb írható, azért annak középpontja csak és metszéspontja, azaz lehet, vagyis -tól és pontjai egyenlő távolságra vannak. Hasonlóan látható be, hogy és pontjai egyenlő távolságra vannak -tól. Ugyanez elmondható és rögzítése mellett helyett tetszőleges () körvonalról is, vagyis valamennyi körvonal pontjai -tól egyenlő távolságra vannak. Tehát a feladat feltételeinek teljesülése esetén valóban van olyan gömb, amely az összes körvonalat tartalmazza.
Bálint Gergely (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján |
Megjegyzés. Három körvonal könnyen megadható úgy, hogy bármelyik kettőhöz létezik őket tartalmazó gömb, de a körvonalak nincsenek egy gömbön. Ilyen pl. a 2. ábrán látható három, párhuzamos síkokban lévő körvonal.
2. ábra |
|