Feladat: B.3351 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andrássy Zoltán ,  Antal István ,  Babos Attila ,  Bálint Gergely ,  Balka Richárd ,  Béky Bence ,  Bérczi Kristóf ,  Besenyei Ádám ,  Boros Vazul ,  Csaszny Tamás ,  Csikvári Péter ,  Csóka Endre ,  Deli Lajos ,  Gerencsér Balázs ,  Győri Nikolett ,  Hablicsek Márton ,  Hargitai Gábor ,  Kovács Erika Renáta ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Malakuczi Viktor ,  Máthé András ,  Nagy Ambrus ,  Pacz Bence Tamás ,  Pallos Péter ,  Papp Dávid ,  Simon Győző ,  Siroki László ,  Somogyi Dávid ,  Soproni Péter ,  Ta Vinh Thong ,  Tolvaj Nándor ,  Tolvaj Nóra ,  Vajda Péter ,  Vígh Viktor ,  Vitéz Ildikó ,  Zalán Péter ,  Zavarkó Gábor 
Füzet: 2000/november, 484 - 485. oldal  PDF file
Témakör(ök): Köréírt gömb, Körök, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/február: B.3351

Adott a térben legalább négy körvonal úgy, hogy középpontjaik közül semelyik 4 nincs egy síkban. Igaz-e, hogy ha bármely két körvonalhoz létezik őket tartalmazó gömbfelület, akkor létezik olyan gömbfelület is, amelyik mindegyik körvonalat tartalmazza?

Belátjuk, hogy a feladat kérdésére igenlő a válasz. Gömbfelület helyett az egyszerűség kedvéért gömbről beszélünk majd. Jelölje a körvonalakat k1, k2, ..., kn, középpontjaikat rendre O1, O2, ..., On. Ekkor a ki körvonalat tartalmazó gömbök középpontjainak mértani helye a ki síkjára merőleges, Oi-n átmenő ei egyenes.
 
1. ábra
 

Az ei egyenesek közül bármely kettőnek van közös pontja, mert bármely két körvonalra létezik őket tartalmazó gömb. Az egyenesek közül semelyik 4 nincs egy síkban, mert különben a rajtuk levő gömbközéppontok is egy síkban lennének. Ebből az is következik, hogy az egyenesek közül legfeljebb kettő eshet egybe. Ha viszont a térben véges sok egyenes közül bármely kettő metszi egymást, akkor ezek az egyenesek vagy egy ponton mennek át, vagy pedig egy síkban vannak (lásd pl. Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötet, 1710. feladat). Esetünkben tehát az ei egyeneseknek egy ponton kell átmenniük. Legyen ez a pont K.
Megmutatjuk, hogy van olyan K középpontú gömb, amely valamennyi ki körvonalat tartalmazza. Ha az ei egyenesek közt van két egybeeső, akkor válasszuk úgy a jelölést, hogy e1 és e2 essenek egybe. Mivel k1 és k3 köré gömb írható, azért annak középpontja csak e1 és e3 metszéspontja, azaz K lehet, vagyis K-tól k1 és k3 pontjai egyenlő távolságra vannak. Hasonlóan látható be, hogy k2 és k3 pontjai egyenlő távolságra vannak K-tól. Ugyanez elmondható k1 és k3 rögzítése mellett k2 helyett tetszőleges ki (i>3) körvonalról is, vagyis valamennyi ki körvonal pontjai K-tól egyenlő távolságra vannak. Tehát a feladat feltételeinek teljesülése esetén valóban van olyan gömb, amely az összes körvonalat tartalmazza.
 Bálint Gergely (Debrecen, KLTE Gyak. Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján

 
Megjegyzés. Három körvonal könnyen megadható úgy, hogy bármelyik kettőhöz létezik őket tartalmazó gömb, de a körvonalak nincsenek egy gömbön. Ilyen pl. a 2. ábrán látható három, párhuzamos síkokban lévő körvonal.

 
2. ábra