Kezdőlap


Feladat:	C.566	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2000/október, 403. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Abszolútértékes egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2000/január: C.566

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az abszolút érték definíciójának megfelelően három esetet vizsgálunk.
i) Ha $x \leq 1$ . Ekkor $| x - 1 | = - (x - 1)$ és $| x - 3 | = - (x - 3)$ .
A kiinduló egyenlet az abszolútérték jelek elhagyása után:

\begin{matrix} x^{2} - 4 x + 4 + {(- x + 1 - x + 3 - \frac{15}{4})}^{2} = \frac{65}{16} . \end{matrix}

Rendezve azt kapjuk, hogy

5 x^{2} - 5 x = 5 x (x - 1) = 0

. Innen vagy

x = 0

, vagy

x = 1

.
ii) Ha

1 < x \leq 3

, akkor

| x - 1 | = x - 1

és

| x - 3 | = - (x - 3)

.
Az egyenlet a rendezés után:

x^{2} - 4 x + 3 = 0

. Innen

x = 3

(

x = 1

nem esik a vizsgált intervallumba).
iii) Végül, ha

x > 3

, akkor

| x - 1 | = x - 1

és

| x - 3 | = x - 3

.
Az ezzel kapott egyenlet:

x^{2} - 7 x + 12 = 0

, innen

x = 4

(

x = 3

nem esik a vizsgált tartományba).
Lépéseink megfordíthatók, így a kapott értékekek: 0, 1, 3, 4 az egyenlet megoldásai.