Feladat: C.566 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2000/október, 403. oldal  PDF file
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Abszolútértékes egyenletek, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2000/január: C.566

Oldjuk meg a következő egyenletet:
(x-2)2+(|x-1|+|x-3|-154)2=6516.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az abszolút érték definíciójának megfelelően három esetet vizsgálunk.
i) Ha x1. Ekkor |x-1|=-(x-1) és |x-3|=-(x-3).
A kiinduló egyenlet az abszolútérték jelek elhagyása után:

x2-4x+4+(-x+1-x+3-154)2=6516.
Rendezve azt kapjuk, hogy 5x2-5x=5x(x-1)=0. Innen vagy x=0, vagy x=1.
ii) Ha 1<x3, akkor |x-1|=x-1 és |x-3|=-(x-3).
Az egyenlet a rendezés után: x2-4x+3=0. Innen x=3 (x=1 nem esik a vizsgált intervallumba).
iii) Végül, ha x>3, akkor |x-1|=x-1 és |x-3|=x-3.
Az ezzel kapott egyenlet: x2-7x+12=0, innen x=4 (x=3 nem esik a vizsgált tartományba).
Lépéseink megfordíthatók, így a kapott értékekek: 0, 1, 3, 4 az egyenlet megoldásai.