Feladat:	F.3290	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Papp Dávid ,  Székelyhidi Gábor
Füzet:	2000/január, 37 - 38. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Térgeometriai bizonyítások, Vektorok vektoriális szorzata, Háromszög területe, Konvex négyszögek, Terület, felszín, Sík egyenlete, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: F.3290

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Mivel mind a négy pont második és harmadik koordinátájának összege 2, azért a pontok rajta vannak az $y+z=2$ egyenletű síkon. Ez a sík párhuzamos az $y=0$ és a $z=0$ egyenletű koordinátasíkok egyik szögfelezősíkjával, tehát ${45}^{\circ }$-os szöget zár be a $z=0$ síkkal. A vetület csúcsai (most már az $\left(xy\right)$ síkban, a harmadik koordinátát elhagyva): $A\text{'}\left(1;0\right)$, $B\text{'}\left(4;3\right)$, $C\text{'}\left(0;3\right)$ és $D\text{'}\left(5;-2\right)$.   1. ábra   2. ábra   Ismert (lásd pl. Reiman István: A geometria és határterületei, 49‐50. old.), hogy az $A$, $B$, $C$ és $D$ pontok által meghatározott konvex négyszög területét $\text{cos}{45}^{\circ }=\frac{\sqrt[]{2}}{2}$-vel szorozva kapjuk az $A\text{'}$, $B\text{'}$, $C\text{'}$ és $D\text{'}$ pontok által meghatározott konvex négyszög területét. Ez utóbbit a 2. ábra alapján könnyen meghatározhatjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle T_{A\text{'}D\text{'}B\text{'}C\text{'}}=25-T_1-T_2-T_3-T_4=25-\mathrm{1,5}-4-\mathrm{2,5}=15.}\end{array}$ A keresett terület tehát $T_{ADBC}=\sqrt[]{2}\cdot T_{A\text{'}D\text{'}B\text{'}C\text{'}}=15\sqrt[]{2}$ területegység.  Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján   II. megoldás. Az $\overrightarrow{AD}$ és az $\overrightarrow{AC}$ vektorok vektoriális szorzata $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AC}=\left(\mathrm{0,}\mathrm{10,}10\right)\mathrm{,}}\end{array}$ a $\overrightarrow{BD}$ és a $\overrightarrow{BC}$ vektorok vektoriális szorzata pedig $\begin{array}{c}{\displaystyle \overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC}=\left(\mathrm{0,}-\mathrm{20,}-20\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel a két szorzatvektor párhuzamos, az $ACD$ és a $BCD$ síkok is párhuzamosak. E két síknak a $C$ és $D$ közös pontjai, tehát a síkok egybeesnek, vagyis az $A$, $B$, $C$ és $D$ pontok egysíkúak.   3. ábra   A vektoriális szorzatok ellentétes irányúak, ezért az $ACD$ és a $BCD$ háromszögek ellentétes körüljárásúak. Ez azt jelenti, hogy az $A$ és a $B$ pontok a $CD$ egyenes ellentétes oldalain vannak (3. ábra). Így a négy pont által meghatározott konvex négyszög területe az $ACD$ és a $BCD$ háromszögek területének összege. Az $ACD$ háromszög területe $\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AD}\times \overrightarrow{AC}\right|=5\sqrt[]{2}$, a $BCD$ háromszög területe pedig $\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BC}\right|=10\sqrt[]{2}$. Az $ABCD$ konvex négyszög területe tehát $15\sqrt[]{2}$ területegység.  Székelyhidi Gábor (Kuwait, New English School, 12. o.t.)