Feladat: F.3290 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Papp Dávid ,  Székelyhidi Gábor 
Füzet: 2000/január, 37 - 38. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Vektorok vektoriális szorzata, Háromszög területe, Konvex négyszögek, Terület, felszín, Sík egyenlete, Koordináta-geometria, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/május: F.3290

Mutassuk meg, hogy az A(1,0,2), B(4,3,-1), C(0,3,-1), D(5,-2,4) koordinátájú pontok egy síkban vannak. Mekkora a négy pont által meghatározott konvex négyszög területe?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Mivel mind a négy pont második és harmadik koordinátájának összege 2, azért a pontok rajta vannak az y+z=2 egyenletű síkon. Ez a sík párhuzamos az y=0 és a z=0 egyenletű koordinátasíkok egyik szögfelezősíkjával, tehát 45-os szöget zár be a z=0 síkkal. A vetület csúcsai (most már az (xy) síkban, a harmadik koordinátát elhagyva): A'(1;0), B'(4;3), C'(0;3) és D'(5;-2).
 



1. ábra

 

2. ábra

 

Ismert (lásd pl. Reiman István: A geometria és határterületei, 49‐50. old.), hogy az A, B, C és D pontok által meghatározott konvex négyszög területét cos45=22-vel szorozva kapjuk az A', B', C' és D' pontok által meghatározott konvex négyszög területét. Ez utóbbit a 2. ábra alapján könnyen meghatározhatjuk:
TA'D'B'C'=25-T1-T2-T3-T4=25-1,5-4-2,5=15.
A keresett terület tehát TADBC=2TA'D'B'C'=152 területegység.
 Papp Dávid (Budapest, Szent István Gimn., 11. o.t.) dolgozata alapján

 
II. megoldás. Az AD és az AC vektorok vektoriális szorzata
AD×AC=(0,10,10),
a BD és a BC vektorok vektoriális szorzata pedig
BD×BC=(0,-20,-20).
Mivel a két szorzatvektor párhuzamos, az ACD és a BCD síkok is párhuzamosak. E két síknak a C és D közös pontjai, tehát a síkok egybeesnek, vagyis az A, B, C és D pontok egysíkúak.
 


 


3. ábra

 

A vektoriális szorzatok ellentétes irányúak, ezért az ACD és a BCD háromszögek ellentétes körüljárásúak. Ez azt jelenti, hogy az A és a B pontok a CD egyenes ellentétes oldalain vannak (3. ábra). Így a négy pont által meghatározott konvex négyszög területe az ACD és a BCD háromszögek területének összege. Az ACD háromszög területe 12|AD×AC|=52, a BCD háromszög területe pedig 12|BD×BC|=102. Az ABCD konvex négyszög területe tehát 152 területegység.
 Székelyhidi Gábor (Kuwait, New English School, 12. o.t.)