|
Feladat: |
F.3278 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Baharev Ali , Balogh Attila , Boros M. Mátyás , Dancsó Zsuzsanna , Fehér Lajos Károly , Gerencsér Balázs , Gueth Krisztián , Győri Nikolett , Györey Bernadett , Gömöri Péter , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Horváth György , Horváth László , Keszegh Balázs , Kiss Norbert , Koch Dénes , Koczka Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Lovrics Anna , Máthé András , Naszódi Gergely , Pataki Péter , Poronyi Gábor , Pszota Anikó , Somogyi Dávid , Szabadka Zoltán , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Torda Péter , Venter György , Zempléni Márton |
Füzet: |
2000/január,
28 - 29. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Harmadfokú függvények, Sík geometriája, Valós számok és tulajdonságaik, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1999/március: F.3278 |
|
Az egyenletű görbe pontjain egy műveletet értelmezünk a következőképpen. Ha és a görbe két pontja, akkor legyen az egyenes és a görbe harmadik metszéspontjának az origóra való tükörképe. (Ha a definícióban szereplő valamelyik két pont egybeesik, akkor összekötő egyenesük helyett vegyük a görbe adott pontbeli érintőjét). Mutassuk meg, hogy a művelet asszociatív.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az görbe pontjait egyértelműen jellemezhetjük az abszcisszájukkal. Legyen az a művelet, amely a görbe és abszcisszájú és pontjai esetén -nek az pont abszcisszáját felelteti meg. Ekkor a pontokon értelmezett művelet pontosan akkor asszociatív, ha a valós számokon értelmezett művelet az. Megmutatjuk, hogy éppen az összeadás, amiből feladatunk állítása nyilván következik. Az egyenes egyenlete esetén | | ami rendezés után alakba írható. Könnyen ellenőrizhető, hogy az (1) egyenlet esetén az görbe pontbeli érintőjének az egyenlete. Az (1) egyenletű egyenes és az metszéspontjainak abszcisszái kielégítik az egyenletet. Ebben az -re nézve harmadfokú egyenletben együtthatója 0, ezért a három gyök összege is 0. Mivel az egyenlet két gyöke és , a harmadik gyöke . Vagyis a harmadik metszéspont a pont, tehát az pont az pont, ami azt jelenti, hogy . (Könnyen ellenőrizhető, hogy ez az esetben is érvényes.)
Megjegyzés. Megoldásunkból az is látszik, hogy az egyenletű görbére is igaz a feladat állítása.
Székelyhidi Gábor (Kuwait, New English School, 12. o.t.) |
Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) dolgozatai alapján |
|
|