Feladat: F.3278 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Baharev Ali ,  Balogh Attila ,  Boros M. Mátyás ,  Dancsó Zsuzsanna ,  Fehér Lajos Károly ,  Gerencsér Balázs ,  Gueth Krisztián ,  Győri Nikolett ,  Györey Bernadett ,  Gömöri Péter ,  Harangi Viktor ,  Horváth Gábor ,  Horváth György ,  Horváth László ,  Keszegh Balázs ,  Kiss Norbert ,  Koch Dénes ,  Koczka Gergely ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Lovrics Anna ,  Máthé András ,  Naszódi Gergely ,  Pataki Péter ,  Poronyi Gábor ,  Pszota Anikó ,  Somogyi Dávid ,  Szabadka Zoltán ,  Székelyhidi Gábor ,  Terpai Tamás ,  Torda Péter ,  Venter György ,  Zempléni Márton 
Füzet: 2000/január, 28 - 29. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmadfokú függvények, Sík geometriája, Valós számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/március: F.3278

Az y=x3 egyenletű görbe pontjain egy * műveletet értelmezünk a következőképpen. Ha A és B a görbe két pontja, akkor legyen A*B az AB egyenes és a görbe harmadik metszéspontjának az origóra való tükörképe. (Ha a definícióban szereplő valamelyik két pont egybeesik, akkor összekötő egyenesük helyett vegyük a görbe adott pontbeli érintőjét). Mutassuk meg, hogy a * művelet asszociatív.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az y=x3 görbe pontjait egyértelműen jellemezhetjük az abszcisszájukkal. Legyen az a művelet, amely a görbe a és b abszcisszájú A és B pontjai esetén ab-nek az A*B pont abszcisszáját felelteti meg. Ekkor a pontokon értelmezett * művelet pontosan akkor asszociatív, ha a valós számokon értelmezett művelet az. Megmutatjuk, hogy éppen az összeadás, amiből feladatunk állítása nyilván következik.
Az AB egyenes egyenlete ab esetén

(b-a)(y-a3)=(b3-a3)(x-a),
ami rendezés után
y=(b2+ab+a2)x-b2a-a2b(1)
alakba írható. Könnyen ellenőrizhető, hogy az (1) egyenlet b=a esetén az y=x3 görbe (a,a3) pontbeli érintőjének az egyenlete. Az (1) egyenletű egyenes és az y=x3 metszéspontjainak abszcisszái kielégítik az
x3=(b2+ab+a2)x-b2a-a2b
egyenletet. Ebben az x-re nézve harmadfokú egyenletben x2 együtthatója 0, ezért a három gyök összege is 0. Mivel az egyenlet két gyöke a és b, a harmadik gyöke -(a+b). Vagyis a harmadik metszéspont a (-(a+b),-(a+b)3) pont, tehát az A*B pont az ((a+b),(a+b)3) pont, ami azt jelenti, hogy ab=a+b. (Könnyen ellenőrizhető, hogy ez az a=b esetben is érvényes.)
 
Megjegyzés. Megoldásunkból az is látszik, hogy az y=x3+kx egyenletű görbére is igaz a feladat állítása.

 Székelyhidi Gábor (Kuwait, New English School, 12. o.t.)
 
 Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) dolgozatai alapján