Kezdőlap


Feladat:	F.3278	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Baharev Ali , Balogh Attila , Boros M. Mátyás , Dancsó Zsuzsanna , Fehér Lajos Károly , Gerencsér Balázs , Gueth Krisztián , Győri Nikolett , Györey Bernadett , Gömöri Péter , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Horváth György , Horváth László , Keszegh Balázs , Kiss Norbert , Koch Dénes , Koczka Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Lovrics Anna , Máthé András , Naszódi Gergely , Pataki Péter , Poronyi Gábor , Pszota Anikó , Somogyi Dávid , Szabadka Zoltán , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Torda Péter , Venter György , Zempléni Márton
Füzet:	2000/január, 28 - 29. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Harmadfokú függvények, Sík geometriája, Valós számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: F.3278

y = x^{3}

egyenletű görbe pontjain egy

*

műveletet értelmezünk a következőképpen. Ha

A

és

B

a görbe két pontja, akkor legyen

A * B

A B

egyenes és a görbe harmadik metszéspontjának az origóra való tükörképe. (Ha a definícióban szereplő valamelyik két pont egybeesik, akkor összekötő egyenesük helyett vegyük a görbe adott pontbeli érintőjét). Mutassuk meg, hogy a

*

művelet asszociatív.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $y = x^{3}$ görbe pontjait egyértelműen jellemezhetjük az abszcisszájukkal. Legyen $\circ$ az a művelet, amely a görbe $a$ és $b$ abszcisszájú $A$ és $B$ pontjai esetén $a \circ b$ -nek az $A * B$ pont abszcisszáját felelteti meg. Ekkor a pontokon értelmezett $*$ művelet pontosan akkor asszociatív, ha a valós számokon értelmezett $\circ$ művelet az. Megmutatjuk, hogy $\circ$ éppen az összeadás, amiből feladatunk állítása nyilván következik.
Az $A B$ egyenes egyenlete $a \neq b$ esetén

\begin{matrix} (b - a) (y - a^{3}) = (b^{3} - a^{3}) (x - a), \end{matrix}

ami rendezés után

\begin{matrix} y = (b^{2} + a b + a^{2}) x - b^{2} a - a^{2} b \end{matrix}

(1)

alakba írható. Könnyen ellenőrizhető, hogy az (1) egyenlet

b = a

esetén az

y = x^{3}

görbe

(a, a^{3})

pontbeli érintőjének az egyenlete. Az (1) egyenletű egyenes és az

y = x^{3}

metszéspontjainak abszcisszái kielégítik az

\begin{matrix} x^{3} = (b^{2} + a b + a^{2}) x - b^{2} a - a^{2} b \end{matrix}

egyenletet. Ebben az

x

-re nézve harmadfokú egyenletben

x^{2}

együtthatója 0, ezért a három gyök összege is 0. Mivel az egyenlet két gyöke

a

és

b

, a harmadik gyöke

- (a + b)

. Vagyis a harmadik metszéspont a

(- (a + b), - {(a + b)}^{3})

pont, tehát az

A * B

pont az

((a + b), {(a + b)}^{3})

pont, ami azt jelenti, hogy

a \circ b = a + b

. (Könnyen ellenőrizhető, hogy ez az

a = b

esetben is érvényes.)

Megjegyzés. Megoldásunkból az is látszik, hogy az

y = x^{3} + k x

egyenletű görbére is igaz a feladat állítása.

Székelyhidi Gábor (Kuwait, New English School, 12. o.t.)

Terpai Tamás (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 12. o.t.) dolgozatai alapján