Kezdőlap


Feladat:	F.3275	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Spanczér Ilona
Füzet:	2000/január, 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/március: F.3275

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje a keresett törtet $\frac{a}{b}$ , ahol $a$ és $b$ pozitív egészek és $\frac{47}{245} < \frac{a}{b} < \frac{34}{177}$ . Az egyenlőtlenségekkel ekvivalens reciprokukat véve:

\begin{matrix} 5 + \frac{7}{34} = \frac{177}{34} < \frac{b}{a} < \frac{245}{47} = 5 + \frac{10}{47} . \end{matrix}

Látható, hogy

b > 5 a

; legyen

b = 5 a + x

, ezzel az előbbi egyenlőtlenségek:

\begin{matrix} \begin{matrix} \frac{7}{34} < \frac{x}{a} < \frac{10}{47}, átrendezve \frac{47}{10} x < a < \frac{34}{7} x . \end{matrix} \end{matrix}

A legkisebb olyan

x

pozitív egész, amelyre a nyílt

(\frac{47}{10} x, \frac{34}{7} x)

intervallum tartalmaz egész számot, a 4; ekkor

a = 19

. Ha

x \geq 5

, akkor a

(\frac{47}{10} x, \frac{34}{7} x)

intervallum minden eleme nagyobb

\frac{47}{2} > 23

-nál, tehát ilyenkor

b = 5 a + x

csak nagyobb lehet, mint

5 \cdot 19 + 4 = 99

. A keresett tört értéke így

\frac{a}{b} = \frac{19}{99}

Spanczér Ilona (Nagykanizsa, Batthyány L. Gimn., 9. o.t.)