Feladat: Gy.3284 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kovács Erika Renáta ,  Máthé András 
Füzet: 2000/január, 24 - 25. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Esetvizsgálat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/május: Gy.3284

Igazoljuk, hogy ha egy körív felezi egy k kör területét, akkor hossza nagyobb k átmérőjénél. (H)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat állítását körív helyett tetszőleges vonalra is belátjuk. Legyen AB˜ olyan vonal a kerület A és B pontjai között, amelyik felezi a kör területét. Ha A és B átellenes pontok a kör kerületén, akkor készen vagyunk, hiszen az AB˜ összekötés hosszabb, mint az AB szakasz.

 
 

Ha A és B nem átellenes pontok, akkor tekintsük azt az ‐ egyetlen ‐ PQ átmérőt, amelyik párhuzamos az AB szakasszal. (Ha A és B egybeesik, akkor legyen PQ az A=B-ben a körhöz húzott érintővel párhuzamos átmérő.)
Most A és B a PQ átmérőnek ugyanazon az oldalán vannak, így ha AB˜ felezi a körlap területét, át kell mennie a PQ határolta másik félkörlapra is. Létezik tehát az AB˜ vonalon olyan M pont, amely rajta van PQ-n. Tükrözzük MB˜-t PQ-ra, jelöljük ezt a vonalat MB'˜-vel! Ekkor A és B' átellenes pontok k-n, mert PA=BQ=QB'.
Ha az AM˜ és az MB'˜ vonalakat egymáshoz fűzzük, akkor egy AB'˜ vonalat kapunk, ami legalább olyan hosszú ‐ valójában hosszabb ‐, mint az AB' átmérő, és ugyanolyan hosszú, mint AB˜. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 Kovács Erika Renáta (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.) megoldása alapján