Kezdőlap

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek a téglatest élei $a$ , $b$ és $c$ , felszíne pedig prímhatvány:

\begin{matrix} 2 (a b + b c + c a) = p^{n} (pprím,n \geq 1egész). \end{matrix}

Mivel

2 ∣ p^{n}

, ez csak úgy lehet, ha

p = 2

, így

\begin{matrix} a b + b c + c a = 2^{n - 1} . \end{matrix}

A bal oldal értéke nyilván nagyobb, mint 1, és így páros szám. Egyszerűen végiggondolható, hogy

a b + b c + c a

csak akkor lehet páros, ha

a

b

és

c

közül legalább kettő páros. De

a

b

és

c

mindegyike prím, így pl.

a = b = 2

kell legyen.
Ekkor

2 \cdot 2 + 2 c + 2 c = 2^{n - 1}

, ahonnan

\begin{matrix} c = 2^{n - 3} - 1 (n > 4) . \end{matrix}

Tehát a téglatest két élének mérőszáma 2, a harmadik pedig valóban

2^{k} - 1

alakú.

Tóth Mihály (Gyöngyös, Berze Nagy János Gimn., 9. o.t.)

Soós Károly (Szekszárd, Garay J. Gimn., 10. o.t.) dolgozata alapján

Megjegyzés. Ha

a = b = 2

és

c = 7

, akkor a téglatest felszíne 64, valóban prímhatvány.