Kezdőlap


Feladat:	F.3273	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Gergely
Füzet:	1999/december, 541 - 543. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hiperbola, mint mértani hely, Kör geometriája, Pitagorasz-tétel alkalmazásai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/február: F.3273

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vegyünk fel egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy $k$ középpontja legyen az $O$ origó, az $x$ tengely essen egybe $e$ -vel, az egység pedig legyen $k$ sugara. Ebben a koordináta-rendszerben fogjuk megadni a feltételeknek eleget tevő középpontok halmazának egyenletét.
Elegendő az $y \geq 0$ félsík pontjaival foglalkoznunk, mert a megfelelő pontok halmaza is szimmetrikus lesz az $x$ tengelyre, hiszen $k$ is és $e$ is az. Legyen $l$ egy, a feltételeknek eleget tevő kör, sugarának hossza legyen $r$ , középpontja pedig a $L (x, y)$ pont. Két esetet különböztetünk meg.
i) Az $L$ pont $k$ -n kívül van (azaz $x^{2} + y^{2} > 1$ ). Ekkor $l$ -nek $k$ -hoz legközelebbi pontja az $O L$ szakasz és $k$ metszéspontja (1. ábra), tehát $O L = 2 r + 1$ . Mivel $l$ érinti az $x$ tengelyt, azért $r = y$ . A Pitagorasz-tételt alkalmazva az ábrán látható $O L$ átfogójú derékszögű háromszögre:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = {(2 r + 1)}^{2} . \end{matrix}

Ebből, felhasználva, hogy

r = y

, kapjuk a

\begin{matrix} 9 {(y + \frac{2}{3})}^{2} - 3 x^{2} = 1 \end{matrix}

(1)

egyenletet.

L

tehát rajta van az (1) egyenletű hiperbolán. Ha ennek a hiperbolának egy olyan pontját vesszük ‐ az 1. ábrán vastagabb vonallal jelölt rész ‐, amelyik

k

-n kívül, az

y \geq 0

félsíkban van, akkor erre az

L' (x', y')

pontra teljesül, hogy

\sqrt[]{{x'}^{2} + {y'}^{2}} = 2 y' + 1

, vagyis ha

L'

körül egy

y'

sugarú kört rajzolunk, akkor az érinti az

x

tengelyt,

k

-hoz legközelebbi pontja pedig

k

-tól

(2 y' + 1) - 1 - y' = y'

távolságra van, vagyis eleget tesz a feladat feltételeinek.
ii) Ha az

L

pont

k

-n belül van (azaz

x^{2} + y^{2} < 1

), akkor

l

-nek

k

-hoz legközelebbi pontja az

O

-ból induló

O L

félegyenes és

l

metszéspontja (2. ábra). Ismét felírva Pitagorasz tételét:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = {(1 - 2 r)}^{2} . \end{matrix}

Most is igaz, hogy

r = y

, ezt felhasználva kapjuk, hogy

\begin{matrix} 9 {(y - \frac{2}{3})}^{2} - 3 x^{2} = 1. \end{matrix}

(2)

L

tehát rajta van a (2) egyenletű hiperbolán. Ugyanúgy, mint az előző esetben, most is belátható, hogy a hiperbola minden olyan pontja eleget tesz a feladat feltételeinek, amely

k

belsejében és az

y \geq 0

félsíkban van ‐ a 2. ábrán vastagabb vonallal jelölt rész.
A két esetben tehát hiperboladarabok és ezeknek az

x

tengelyre vonatkozó tükörképe a feltételeknek eleget tevő körközéppontok halmaza. Ez látható a 3. ábrán. Mivel az (1) és (2) egyenletű hiperbolák egymás tükörképei az

x

tengelyre, azért a keresett halmaz valójában a két hiperbola egy-egy ágából tevődik össze.

Kiss Gergely (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.)