Kezdőlap


Feladat:	F.3270	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csiszár Gábor , Dancsó Zsuzsanna , Gueth Krisztián , Győri Nikolett , Györey Bernadett , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Kiss Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Máthé András , Naszódi Gergely , Papp Dávid , Pataki Péter , Szabadka Zoltán , Terpai Tamás
Füzet:	1999/december, 539. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós együtthatós polinomok, Függvények folytonossága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/február: F.3270

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a $p$ polinom folytonos függvény és $p (0) = 1 > 0$ , azért $p (- 1) \leq 0$ esetén a Bolzano-tétel szerint $p$ felveszi a 0 értéket a $[- 1, 0]$ intervallumon. De $p$ -nek nincs valós gyöke, így $p (- 1) = 1 - a + b - c + 1 > 0$ , ahonnan $a + c < b + 2 < 5$ . Tehát ${(a + c)}^{2} < 25$ . A zárójelet felbontva és a $2 a c \leq a^{2} + c^{2}$ összefüggést felhasználva kapjuk, hogy $a c < 6,25$ . A $b < 3$ feltétel miatt így $a b c < 18,75$ . Ha tehát $a$ , $b$ , $c$ 3-nál kisebb pozitív számok és $p$ -nek nincs gyöke, akkor $a b c < 18,75$ .
Megmutatjuk azt is, hogy $a b c$ a $[0; 18,75)$ intervallumban minden értéket felvehet. Legyen $a = c = 2,5 - ε$ és $b = 3 - \frac{ε}{2}$ . Ha $ε$ a $(0; 2,5)$ intervallumon mozog, akkor $a b c$ a Bolzano-tétel alapján minden értéket felvesz a $(0; 18,75)$ intervallumon.
Most már csak azt kell bizonyítani, hogy ekkor $p$ -nek nincs valós gyöke. Tegyük fel az ellenkezőjét:

\begin{matrix} x^{4} + (2,5 - ε) x^{3} + (3 - \frac{ε}{2}) x^{2} + (2,5 - ε) + 1 = 0. \end{matrix}

Mivel

x \neq 0

, oszthatunk

x^{2}

-tel:

\begin{matrix} x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + (2,5 - ε) (x + \frac{1}{x}) + (3 - \frac{ε}{2}) = 0. \end{matrix}

Átalakítva:

\begin{matrix} {(x + \frac{1}{x})}^{2} + (2,5 - ε) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{ε}{2}) = 0. \end{matrix}

A másodfokú egyenlet megoldóképlete szerint

x + \frac{1}{x}

értékére

\begin{matrix} \frac{ε - 2,5 \pm \sqrt[]{ε^{2} - 3 ε + 2,25}}{2} \end{matrix}

adódik. A gyökjel alatt

{(ε - 1,5)}^{2}

áll, tehát

x + \frac{1}{x} = - \frac{1}{2}

vagy

x + \frac{1}{x} = ε - 2

.
Mindkét egyenletet megszorozva

x

-szel olyan egyenleteket kapunk, amelyeknek nincs valós gyöke. Tehát ellentmondásra jutottunk.

Szabadka Zoltán (Veszprém, Lovassy L. Gimn., 12. o.t.)