Kezdőlap


Feladat:	C.544	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gajdos Béla , Várallyay György
Füzet:	1999/december, 524 - 525. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Tengely körüli forgatás, Térgeometriai számítások trigonometriával, Vetítések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1999/május: C.544

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kocka magassága az elcsavarás előtt $m = 1$ , a négyzetlapok átlójának hossza $\sqrt[]{2}$ .
A megcsavarás után (csak a fedőlap csavarodik el) az elfordult $A'$ és $D'$ csúcsok vetületét az alapsíkra jelölje $B'$ , illetve $C'$ , az alapnégyzet középpontját $O$ (1. ábra).
Az eredeti és az elfordult négyzet felülnézeti képén (2. ábra) $O B = O B' = \frac{\sqrt[]{2}}{2}$ , $B B' = x$ . Az $O B B'$ egyenlő szárú háromszögben $B O B' ∢ = α$ és $sin \frac{α}{2} = \frac{\frac{x}{2}}{\frac{\sqrt[]{2}}{2}}$ , ahonnan $x = \sqrt[]{2} sin \frac{α}{2}$ .
Mivel elcsavaráskor az oldalélek hossza nem változik, az 1. ábra jelölései szerint $A' B = 1$ , $A' B' = m'$ az új magasság, és az $A' B B'$ derékszögű háromszögből: ${m'}^{2} + x^{2} = 1$ , ahonnan

\begin{matrix} m' = \sqrt[]{1 - 2 sin^{2} \frac{α}{2}} = \sqrt[]{1 - 2 \frac{1 - cos α}{2}} = \sqrt[]{cos α} . \end{matrix}

Az eredeti és az elcsavart magasság különbsége megadja, hogy mennyivel került közelebb a fedőlap az alaplaphoz:

\begin{matrix} m - m' = 1 - \sqrt[]{cos α} . \end{matrix}

Megjegyzés. Az eredmény mást is elárul. Ha

α = 0

cos α

értéke 1, tehát ha semmit sem csavarunk el, akkor a távolság sem változik. Van a csavarásnak maximuma, és ez

90^{\circ}

. Ekkor, ha elképzeljük a csavarást, az addig ,,függőleges'' (alapsíkra merőleges) élek az alapsíkba fordulnak, az alaplap és a fedőlap most egymáson fekszik.

Várallyay György (Budapest, Kodály Z. Magyar Kórusisk., 12. o.t.)