Feladat: C.544 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gajdos Béla ,  Várallyay György 
Füzet: 1999/december, 524 - 525. oldal  PDF file
Témakör(ök): Kocka, Tengely körüli forgatás, Térgeometriai számítások trigonometriával, Vetítések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/május: C.544

,,Szerkezetkész'' egységkockánknak van alap- és fedőlapja, továbbá oldalélei. A fedőlapot az alaplaphoz képest α hegyesszöggel elcsavarjuk a két lap középpontját összekötő egyenes mint tengely körül. Mennyivel kerül közelebb a fedőlap az alaplaphoz, ha az oldalélek hossza nem változik és a csúcsok összeköttetése is megmarad?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kocka magassága az elcsavarás előtt m=1, a négyzetlapok átlójának hossza 2.
A megcsavarás után (csak a fedőlap csavarodik el) az elfordult A' és D' csúcsok vetületét az alapsíkra jelölje B', illetve C', az alapnégyzet középpontját O (1. ábra).
Az eredeti és az elfordult négyzet felülnézeti képén (2. ábra) OB=OB'=22, BB'=x. Az OBB' egyenlő szárú háromszögben BOB'=α és sinα2=x222, ahonnan x=2sinα2.
Mivel elcsavaráskor az oldalélek hossza nem változik, az 1. ábra jelölései szerint A'B=1, A'B'=m' az új magasság, és az A'BB' derékszögű háromszögből: m'2+x2=1, ahonnan

m'=1-2sin2α2=1-21-cosα2=cosα.

Az eredeti és az elcsavart magasság különbsége megadja, hogy mennyivel került közelebb a fedőlap az alaplaphoz:
m-m'=1-cosα.

Megjegyzés. Az eredmény mást is elárul. Ha α=0, cosα értéke 1, tehát ha semmit sem csavarunk el, akkor a távolság sem változik. Van a csavarásnak maximuma, és ez 90. Ekkor, ha elképzeljük a csavarást, az addig ,,függőleges'' (alapsíkra merőleges) élek az alapsíkba fordulnak, az alaplap és a fedőlap most egymáson fekszik.

 Várallyay György (Budapest, Kodály Z. Magyar Kórusisk., 12. o.t.)