Feladat: C.539 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Ábrány Miklós ,  Bérces Márton ,  Besenyei Ádám ,  Csató György ,  Fall Zoltán ,  Gajdos Béla ,  Gérecz Balázs ,  Király Péter ,  Lovas Róbert ,  Nagy Dávid ,  Pótó Júlia ,  Robotka Zsolt ,  Sapszon János ,  Szalay Zsófia ,  Szűcs Júlia 
Füzet: 1999/december, 521 - 522. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Síkgeometriai bizonyítások, Derékszögű háromszögek geometriája, Thalesz tétel és megfordítása, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/április: C.539

Igazoljuk, hogy bármely hegyesszögű, egyenlő szárú háromszögben
AM=atgα,
ahol szokásos módon a az alapot, A és α az alappal szemközti csúcsot, illetve szöget, M pedig a magasságpontot jelöli.

 
I. megoldás. Az ABC háromszögben (AB=AC) a B csúcsból induló magasság talppontját jelöljük T-vel.
Az AMT háromszög hasonló BTC háromszöghöz, mindkettő derékszögű, és MAT=TBC=α2, hiszen merőleges szárú hegyesszögek. A hasonlóság miatt
AMBC=ATBT,innenAM=BCATBT.(1)

Tudjuk, hogy BC=a, az ABT derékszögű háromszögből ATBT=ctgα, ezeket helyettesítve (1)-be:
AM=actgα=atgα,
amit bizonyítani akartunk.
 Gérecz Balázs (Pannonhalma, Bencés Gimn., 10. o.t.)

 
II. megoldás. Rajzoljuk meg az ABC egyenlő szárú háromszög (AB=AC) körülírt körét.
A C pont átellenes pontját a körön jelöljük C'-vel. A C'BC háromszög derékszögű (Thálesz-tétel), és a kerületi szögek tétele szerint BC'C=α.
A C'AC szög ugyancsak derékszög, így C'AAC és BTAC miatt C'ABT. Hasonlóan C'BBC és AMBC miatt C'BAM, azaz az AC'BM négyszög paralelogramma, és így AM=C'B.
A C'BC derékszögű háromszögből BCC'B=tgα; BC=a és C'B=AM helyettesítéssel rendezés után a bizonyítandó AM=atgα egyenlőséget kapjuk.
 Király Péter (Budapest, Kaffka M. Gimn., 11. o.t.)