|
Feladat: |
F.3264 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Harangi Viktor , Papp Dávid , Pataki Péter , Torda Péter |
Füzet: |
1999/november,
485. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Súlyozott közép, Számtani közép, Mértani közép, Bernoulli-féle egyenlőtlenség, Exponenciális egyenlőtlenségek, Egészrész, törtrész függvények, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1999/január: F.3264 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A bizonyítás során felhasználjuk a súlyozott számtani és súlyozott mértani közép közötti egyenlőtlenséget, amely az , , , valós pozitív súlyokra és az , , , pozitív számokra a következő: | | és egyenlőség csak esetén áll fenn. Ha pozitív egész, akkor , így , azaz egyenlőség van. Ha nem egész, de , akkor , és ezért ekkor is egyenlőség áll fenn. Ha nem egész és , úgy és , tehát alkalmazhatjuk a súlyozott számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget az és súlyokra és az és számokra: | | Vagyis az állítást igazoltuk, és egyenlőség vagy egész esetén van.
Harangi Viktor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.) |
II. megoldás. A Bernoulli-egyenlőtlenséget alkalmazzuk: mivel , azért Ezt az egyenlőtlenséget az -edik hatványra emelve a bizonyítandó állítást kapjuk. Egyenlőség akkor van, ha vagy 1, vagyis ha vagy egész. |
|