Feladat: F.3256 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Terpai Tamás 
Füzet: 1999/október, 417 - 418. oldal  PDF file
Témakör(ök): Harmonikus közép, Számtani közép, Kvadratikus közép, Irracionális egyenlőtlenségek, Gyökös függvények, Jensen-féle egyenlőtlenség, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/december: F.3256

Legyenek x1, x2, ..., xn pozitív valós számok, amelyek összege 1. Bizonyítsuk be, hogy ekkor:
x11-x1+x21-x2+...+xn1-xnx1+x2+...+xnn-1.


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. A feladat feltétele szerint x1+x2+...+xn=1. A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség alapján:
x1+x2+...+xnn-1nx1+x2+...+xnnn-1=nn-1,
Így elegendő az
x11-x1+x21-x2+...+xn1-xnnn-1(1)
egyenlőtlenséget bizonyítanunk. Ehhez az (1) bal oldalán álló törteket átalakítjuk:
xi1-xi=-1-xi1-xi+11-xi=-1-xi+11-xi.
Ezután alsó becslést keresünk a
-1-x1-1-x2-...-1-xnés az11-x1+11-x2+...+11-xn
összegekre.
A számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség szerint:
(2) -(1-x1+1-x2+...+1-xn)-n(1-x1)+(1-x2)+...+(1-xn)n=-n(n-1)n-1.

A harmonikus és számtani, majd a számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenséget alkalmazva kapjuk:
11-x1+11-x2+...+11-xnn21-x1+1-x2+...+1-xnn2n(1-x1)+(1-x2)+...+(1-xn)n=nnn-1.
A (2) és (3) egyenlőtlenségeket összeadva:
x11-x1+x21-x2+...+xn1-xnnn-1.

Ezzel a feladat állítását beláttuk. Egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn, ha x1=x2=...=xn=1n.
 
II. megoldás. Az
x11-x1+x21-x2+...+xn1-xnnn-1
egyenlőtlenségre adunk másik bizonyítást. Ehhez a Jensen egyenlőtlenséget (megtalálható pl. Molnár Emil: Matematikai versenyfeladatok gyűjteménye 1947‐1970, Tankönyvkiadó, 1974. c. könyv 516. oldalán) fogjuk használni: ha f(x) konvex függvény, akkor
f(x1)+f(x2)+...+f(xn)nf(x1+x2+...+xnn);
egyenlőség csak x1=x2=...=xn esetén áll fenn.
Az f(x)=x1-x függvény a (0,1) intervallumon konvex, mert a második deriváltja 4-x4(1-x)5, 0<x<1 esetén pozitív. Az f(x) függvényre alkalmazva a Jensen-egyenlőtlenséget, adódik a kívánt állítás.