Kezdőlap


Feladat:	Gy.3244	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ambrus Gergely , Andrássy Zoltán , Babos Attila , Béky Bence , Benedek Éva , Birkner Tamás , Bognár Attila , Csereklei Gábor , Csurgó Krisztina , Gerencsér Balázs , Gornenszky András , Gyurcsek András , Hamar Gergö , Harangi Viktor , Horváth Dénes , Kovács Erika , Kovács Péter , Kunszenti-Kovács Dávid , Lovrics Anna , Mátyás Péter , Nagy Gergely , Nagy Tamás , Nagy Zoltán , Pesti Gábor , Polgár Orsolya , Siklósi Dávid , Somogyi Dávid , Tolvaj Nóra , Tran Thanh Long , Váradi Vajk , Varga Gábor , Varjú Péter , Vígh Viktor
Füzet:	1999/október, 405 - 406. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Vektorok felbontása összetevőkre, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/december: Gy.3244

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Keressünk kapcsolatot a háromszögek oldalvektorai között. Könnyen látható, hogy

\begin{matrix} \begin{matrix} \vec{A_{1} B_{1}} = \vec{A_{1} A'} + \vec{A' B'} + \vec{B' B_{1}} és \\ \vec{A_{1} B_{1}} = \vec{A_{1} A} + \vec{A B} + \vec{B B_{1}}, \end{matrix} \end{matrix}

ezeket összeadva:

\begin{matrix} 2 \vec{A_{1} B_{1}} = \vec{A' B'} + \vec{A B}, \end{matrix}

(1)

hiszen a jobb oldali első és harmadik tagok összege zérusvektor. Hasonlóan kapjuk, hogy

\begin{matrix} 2 \vec{B_{1} C_{1}} = \vec{B' C'} + \vec{B C} \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} 2 \vec{C_{1} A_{1}} = \vec{C' A'} + \vec{C A} . \end{matrix}

(3)

Rajzoljuk le ezután újra az

A B C

háromszöget, és a megfelelő csúcsaihoz mérjük föl nagyság és irány szerint az

\vec{A' B'}

\vec{B' C'}

és

\vec{C' A'}

vektorokat a 2. ábra szerint. Így az

A B C

háromszög oldalaihoz illeszkedő három ‐ esetleg elfajuló ‐ háromszöget kapunk, amelyek harmadik oldalának vektora rendre

\begin{matrix} \begin{matrix} (2) 2 \vec{A_{1} B_{1}}, 2 \vec{B_{1} C_{1}}, 2 \vec{C_{1} A_{1}} . \end{matrix} \end{matrix}

Ez a három háromszög hasonló. Ez abból következik, hogy az

A B C

és

A' B' C'

azonos körüljárási irányú hasonló háromszögek megfelelő oldalpárjai egymáshoz képest ugyanakkora szöggel vannak elforgatva, tehát a szóban forgó három háromszögben egyenlő két megfelelő oldalpár aránya és ezek közbezárt szöge. De akkor a (4) alatti vektorok abszolútértékére:

\begin{matrix} \frac{| 2 \vec{A_{1} B_{1}} |}{A B} = \frac{| 2 \vec{B_{1} C_{1}} |}{B C} = \frac{| 2 \vec{C_{1} A_{1}} |}{C A}, \end{matrix}

(5)

amiből

A_{1} B_{1} C_{1} ▵ \sim A B C ▵

. Mivel az (5) összefüggés az elfajuló esetben is érvényes, a feladat állítását bebizonyítottuk.

Kovács Erika (Budapest, Árpád Gimn., 9. o.t.) dolgozata alapján