Feladat: Gy.3244 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ambrus Gergely ,  Andrássy Zoltán ,  Babos Attila ,  Béky Bence ,  Benedek Éva ,  Birkner Tamás ,  Bognár Attila ,  Csereklei Gábor ,  Csurgó Krisztina ,  Gerencsér Balázs ,  Gornenszky András ,  Gyurcsek András ,  Hamar Gergö ,  Harangi Viktor ,  Horváth Dénes ,  Kovács Erika ,  Kovács Péter ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Lovrics Anna ,  Mátyás Péter ,  Nagy Gergely ,  Nagy Tamás ,  Nagy Zoltán ,  Pesti Gábor ,  Polgár Orsolya ,  Siklósi Dávid ,  Somogyi Dávid ,  Tolvaj Nóra ,  Tran Thanh Long ,  Váradi Vajk ,  Varga Gábor ,  Varjú Péter ,  Vígh Viktor 
Füzet: 1999/október, 405 - 406. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Vektorok felbontása összetevőkre, Síkgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/december: Gy.3244

Két hasonló és azonos körüljárású háromszög megfelelő csúcsait összekötő szakaszokat megfeleztük. Bizonyítsuk be, hogy ha ezek a felezőpontok háromszöget alkotnak, akkor ez a háromszög az eredetiekhez hasonló.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az 1. ábra jelöléseit. Keressünk kapcsolatot a háromszögek oldalvektorai között. Könnyen látható, hogy

A1B1=A1A'+A'B'+B'B1ésA1B1=A1A+AB+BB1,
ezeket összeadva:
2A1B1=A'B'+AB,(1)
hiszen a jobb oldali első és harmadik tagok összege zérusvektor. Hasonlóan kapjuk, hogy
2B1C1=B'C'+BC(2)
és
2C1A1=C'A'+CA.(3)
Rajzoljuk le ezután újra az ABC háromszöget, és a megfelelő csúcsaihoz mérjük föl nagyság és irány szerint az A'B', B'C' és C'A' vektorokat a 2. ábra szerint. Így az ABC háromszög oldalaihoz illeszkedő három ‐ esetleg elfajuló ‐ háromszöget kapunk, amelyek harmadik oldalának vektora rendre
(2)2A1B1,2B1C1,2C1A1.
Ez a három háromszög hasonló. Ez abból következik, hogy az ABC és A'B'C' azonos körüljárási irányú hasonló háromszögek megfelelő oldalpárjai egymáshoz képest ugyanakkora szöggel vannak elforgatva, tehát a szóban forgó három háromszögben egyenlő két megfelelő oldalpár aránya és ezek közbezárt szöge. De akkor a (4) alatti vektorok abszolútértékére:
|2A1B1|AB=|2B1C1|BC=|2C1A1|CA,(5)
amiből A1B1C1ABC. Mivel az (5) összefüggés az elfajuló esetben is érvényes, a feladat állítását bebizonyítottuk.
 Kovács Erika (Budapest, Árpád Gimn., 9. o.t.) dolgozata alapján