Feladat: C.532 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Csató György ,  Gajdos Béla ,  Gueth Krisztián ,  Kalcsú Áron ,  Robotka Zsolt 
Füzet: 1999/október, 401 - 402. oldal  PDF file
Témakör(ök): Csonkakúp, Terület, felszín, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1999/február: C.532

Az r1 és r2 sugarú körök kívülről érintik egymást. Egyik közös külső érintőjüknek az érintési pontok közé eső szakaszát megforgatjuk a körök centrálisa körül. Fejezzük ki a keletkező csonkakúp palástjának területét r1-gyel és r2-vel.
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A k1, k2 körök középpontját jelöljük O1 és O2-vel, sugarát r1 és r2-vel, és legyen r1r2. A két kör közös pontja E, az érintési pontok k1-en E1, k2-n E2. E1 és E2 merőleges vetülete az O1O2 centrálisra T1, illetve T2. A forgatáskor keletkezett csonkakúp alapköreinek sugarai E1T1=R, E2T2=r, palástjának alkotója E1E2=a.
Ismeretes, hogy a csonkakúp palástjának területe:

P=π(R+r)a.(1)

Mivel O1E1 és O2E2 merőlegesek E1E2-re, ha O2-ből párhuzamost húzunk E1E2-vel, amelynek metszéspontja O2E2-vel G, akkor O1O2=r1+r2 és O1G=r1-r2, így az O2GO1 derékszögű háromszögből
a=E1E2=O2G=(r1+r2)2-(r1-r2)2=4r1r2.(2)

A T1T2E2E1 derékszögű trapézban a szárak: E1T1=R és E2T2=r. Messe az E-ben húzott közös érintő az E1E2 egyenest F-ben. Tudjuk, hogy egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, azért FE1=FE=FE2. FE merőleges O1O2-re, vagyis FE a trapéz középvonala:
R+r2=FE=FE2=FE1.
Azt kaptuk, hogy R+r egyenlő az alkotóval, E1E2-vel. E1E2=R+r=4r1r2, és (1)-be helyettesítve:
P=π(R+r)a=π4r1r24r1r2=4πr1r2.

 Gajdos Béla (Ukrajna, Beregszász, Bethlen G. Gimn., 11. o.t.)

 
Megjegyzés. A megoldás során lényegében azt láttuk be, hogy mind a körök közös E1E2 érintője, mind pedig az R+r összeg egyenlő a két kör átmérőjének a mértani közepével.