|
Feladat: |
Gy.3233 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bákor Krisztina , Bárány Zsófi , Csiszár Gábor , Dénes Attila , Dőrr Zsuzsanna , Harangi Viktor , Hudomiet Péter , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Lábó Eszter , Lábó Melinda , Leipold Diána , Varga Balázs , Venter György , Vizer Máté |
Füzet: |
1999/szeptember,
350 - 351. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Oszthatóság, Természetes számok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/november: Gy.3233 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek tetszőleges különböző pozitív egész számok, összegük , és tegyük fel, a feladat állításával ellentétben, hogy sehogyan sem választható ki közülük kettő, amelyek összege ne lenne osztója a többi 98 összegének, tehát e kettőt is hozzáadva, -nak. Ez azt jelentené, hogy minden egészre . Nyilván , azaz . Ekkor az ; ; ; számok mindegyike nagyobb, mint , különbözőek, és feltevésünk szerint mind osztói -nak. De -nak nem lehet 99 különböző -nál kisebb és -nál nagyobb osztója, legfeljebb csak 98: hiszen már nem lehetséges, mert akkor a többi 98 szám mind 0 volna. Így az számok nem lehetnek mindannyian különbözők, ez pedig ellentmond a kiindulásunknak, hogy maguk az -k különbözőek. Indirekt feltevésünkkel ellentmondásra jutottunk, így a feladat állítását bebizonyítottuk.
Venter György (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 11. o.t.) |
Megjegyzés. Teljesen hasonló módon bizonyítható a feladat 100 és 98 helyett -re és -re () kimondva.
|
|