Kezdőlap


Feladat:	C.514	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Besenyei Ádám , Kovács Andrea , Medve Kinga Sára
Füzet:	1999/április, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/október: C.514

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A jelölt intervallumba eső számok a $2^{n} + 1$ , $...$ , $2^{n + 1} - 1$ , olyan számtani sorozatot alkotnak, amelyben $a_{1} = 2^{n} + 1$ , $a_{m} = 2^{n + 1} - 1$ , a tagok száma pedig: $m = 2^{n} - 1$ . A számok összege így

\begin{matrix} S_{n} = (2^{n} - 1) \frac{2^{n} + 1 + 2^{n + 1} - 1}{2} = (2^{n} - 1) 3 \cdot 2^{n - 1}, \end{matrix}

ami valóban osztható 3-mal.

S_{n}

akkor osztható 9-cel is, ha

2^{n} - 1

is osztható 3-mal. (

2^{n - 1}

biztos, hogy nem lehet 3-mal osztható.)
Legyen

n

páros:

n = 2 k

. Ekkor

2^{n} - 1 = 2^{2 k} - 1 = 4^{k} - 1^{k}

, s ez a különbség mindig osztható az alapok különbségével, 3-mal.
Ha

n

páratlan,

n = 2 k + 1

, akkor

\begin{matrix} 2^{n} - 1 = 2^{2 k + 1} - 1 = 2 \cdot 2^{2 k} - 1 = 2 \cdot 2^{2 k} - 2 + 1 = 2 (2^{2 k} - 1) + 1. \end{matrix}

Az előbbiek szerint az első tag osztható 3-mal, ezért az összeg 3-mal osztva 1-et ad maradékul.
Ekkor tehát

S_{n}

nem osztható 9-cel.
Az

S_{n}

ezért pontosan akkor osztható 9-cel, ha

n

páros.

Kovács 494 Andrea (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)

Megjegyzés. Medve Kinga (Eger, Dobó István Gimn.) megjegyezte, hogy számára a feladat szövegéből nem derült ki, hogy nyílt vagy zárt intervallumról van-e szó, ezért megoldotta a feladatot zárt intervallumra is.
Ekkor

\begin{matrix} S_{n} = \frac{2^{n} + 2^{n + 1}}{2} (2^{n} + 1) = 3 \cdot 2^{n - 1} (2^{n} + 1) . \end{matrix}

Ez pedig akkor osztható 9-cel, ha

n

páratlan, mert a 2 páratlan egész hatványai 3-mal osztva 2 maradékot adnak.