Feladat: C.514 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Besenyei Ádám ,  Kovács Andrea ,  Medve Kinga Sára 
Füzet: 1999/április, 215 - 216. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatóság, Számtani sorozat, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/október: C.514

Jelölje Sn a (2n,2n+1) intervallumba eső egész számok összegét. Bizonyítsuk be, hogy Sn minden pozitív egész n szám esetén osztható 3-mal. Milyen pozitív egész n-ekre osztható Sn  9-cel?

A jelölt intervallumba eső számok a 2n+1, ..., 2n+1-1, olyan számtani sorozatot alkotnak, amelyben a1=2n+1, am=2n+1-1, a tagok száma pedig: m=2n-1. A számok összege így
Sn=(2n-1)2n+1+2n+1-12=(2n-1)32n-1,
ami valóban osztható 3-mal.
Sn akkor osztható 9-cel is, ha 2n-1 is osztható 3-mal. (2n-1 biztos, hogy nem lehet 3-mal osztható.)
Legyen n páros: n=2k. Ekkor 2n-1=22k-1=4k-1k, s ez a különbség mindig osztható az alapok különbségével, 3-mal.
Ha n páratlan, n=2k+1, akkor
2n-1=22k+1-1=222k-1=222k-2+1=2(22k-1)+1.
Az előbbiek szerint az első tag osztható 3-mal, ezért az összeg 3-mal osztva 1-et ad maradékul.
Ekkor tehát Sn nem osztható 9-cel.
Az Sn ezért pontosan akkor osztható 9-cel, ha n páros.
 Kovács 494 Andrea (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)

 
Megjegyzés. Medve Kinga (Eger, Dobó István Gimn.) megjegyezte, hogy számára a feladat szövegéből nem derült ki, hogy nyílt vagy zárt intervallumról van-e szó, ezért megoldotta a feladatot zárt intervallumra is.
Ekkor
Sn=2n+2n+12(2n+1)=32n-1(2n+1).
Ez pedig akkor osztható 9-cel, ha n páratlan, mert a 2 páratlan egész hatványai 3-mal osztva 2 maradékot adnak.