|
Feladat: |
N.182 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Csirmaz Előd , Dancsó Zsuzsanna , Dezső Balázs , Gerbicz Róbert , Gyenes Zoltán , Harangi Viktor , Horváth Gábor , Iván Szabolcs , Juhász András , Keszegh Balázs , Kiss Gergely , Kunszenti-Kovács Dávid , Lukács László , Mansur Boase , Máthé András , Mecz Balázs , Naszódi Gergely , Pálvölgyi Dömötör , Pataki Péter , Szakács László , Székelyhidi Gábor , Terpai Tamás , Tran Thanh Long , Végh A. László , Zábrádi Gergely |
Füzet: |
1999/március,
164 - 166. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Rekurzív sorozatok, Természetes számok, Oszthatósági feladatok, Nehéz feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1998/szeptember: N.182 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az és egymáshoz relatív prímek, hiszen pl. az osztója a -hez relatív prím -nek. Így az egyetlen olyan megoldás, amelyre , az . Tegyük fel ezután, hogy , és , . Ekkor miatt , hasonlóan szerint , és így ‐ mivel osztója az -hoz relatív prím -nek ‐ vagy . Megmutatjuk, hogy , -hez hasonlóan az , és a , párok is eleget tesznek a feladat feltételeinek. Nyilván és . Mivel és egymáshoz relatív prímek, elég igazolni, hogy | | Az első oszthatóság igazolásához használjuk -et: | | és ez valóban osztható -val; hasonlóan láthatjuk be a második oszthatóság teljesülését is. Tehát az megoldásból ,,lefelé'' és ,,felfelé'' is tovább lépve megkaphatjuk az sorozatot, amelynek bármely két szomszédos eleme megoldás, és ezt ugyanígy folytathatjuk tovább, mindkét irányban. Észrevehetjük, hogy a sorozatot bármelyik két szomszédos eleme már meghatározza, hiszen -hoz hasonlóan például . Vizsgáljuk meg, hová jutunk, ha -ből indulva a sorozatot ,,lefelé'' folytatjuk, ameddig csak lehetséges. Legyen , s.í.t. A sorozat ebben az irányban akkor ér véget, amikor , azaz . Ekkor , stb.; az , pár tehát két szomszédos eleme annak az sorozatnak, amelyet az , , rekurzió definiál. Ennek a sorozatnak bármely két szomszédos eleme valóban megoldást ad, hiszen az pár megoldás.
Megjegyzések. 1. A megoldás ötlete a következő gondolatból származik. Ha az számpár megoldás, akkor az szám osztható -val és -val. Mivel és relatív prímek, -vel is osztható, vagyis egy megfelelő pozitív egésszel Ennek a megfordítása is igaz, ha az , , pozitív egészekre (1) teljesül, akkor osztható -vel és osztható -val. Tekintsük most a másodfokú egyenletet. Ennek egyik gyöke . A másik gyöke a Vita-formulák alapján Az első felírásból látszik, hogy egész szám, a másodikból pedig, hogy pozitív. 2. Az előbbi lépés többszöri megismétlésével az (1) egyenlet tetszőleges megoldásából további megoldásokat állíthatunk elő. Könnyű meggondolni, hogy kellő számú lépést megtéve eljuthatunk az megoldáshoz. Ebből következik, hogy csak lehetséges, és az sorozatot az | | (2) | rekurzióval is definiálhatjuk. 3. A (2) a rekurzióból explicit alakban is felírható: | |
|
|