Kezdőlap


Feladat:	F.3216	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biró Márton , Hartmann Miklós , Hegedűs Péter , Homolya Dániel , Less Áron , Máthé András , Páles Csaba
Füzet:	1999/január, 34 - 35. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Természetes számok, Algebrai átalakítások, Teljes indukció módszere, Rekurzív sorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/február: F.3216

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $n \geq 2$ , akkor rögzítsük az $n$ értékét, és tekintsük az alábbi sorozatot:

\begin{matrix} a_{n} = \sqrt[]{n}, a_{n - 1} = \sqrt[]{(n - 1) \sqrt[]{n}} = \sqrt[]{(n - 1) a_{n}}, ..., a_{k} = \sqrt[]{k a_{k + 1}}, ..., a_{2} = \sqrt[]{2 a_{3}} . \end{matrix}

A feladat kérdése az, hogy

a_{2} < 3

igaz-e. Általánosabban bizonyítjuk, hogy ha

n \geq 2

, akkor

a_{k} < k + 1

, ha

k = 2

, 3,

...

n

.
Ezt

k = n

-ről indulva ‐ ekkor

a_{n} = \sqrt[]{n} < n + 1

nyilvánvaló ‐ a

k

csökkenő értékeire vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk, azaz megmutatjuk, hogy ha

a_{k} < k + 1

, akkor

a_{k - 1} < k

.
Valóban,

a_{k - 1} = \sqrt[]{(k - 1) a_{k}} < \sqrt[]{(k - 1) (k + 1)} = \sqrt[]{k^{2} - 1} < \sqrt[]{k^{2}} = k

. Ezzel a bizonyítást befejeztük.

Hartmann Miklós Bonyhád, Petőfi S. Gimn., 12. o.t.)

Megjegyzések. 1. Biró Márton (Sepsiszentgyörgy, Székely Mikó Koll., 10. o.t.) megmutatta, hogy ha

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

pozitív tagú növekvő számtani sorozat, akkor

\begin{matrix} \sqrt[]{a_{1} \sqrt[]{a_{2} ... \sqrt[]{a_{n}}}} < a_{2} \end{matrix}

minden

n

-re.
2. Less Áron (Miskolc, Földes F,. Gimn., 12. o.t.) a kitűzöttnél erősebb

\begin{matrix} \sqrt[]{2 \sqrt[]{3} \sqrt[]{4 ... \sqrt[]{n}}} < 3^{\frac{- 1}{2^{n - 1}}} (3 - \frac{n - 1}{2^{n - 1}}) \end{matrix}

állítást igazolta.