Feladat: F.3216 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Biró Márton ,  Hartmann Miklós ,  Hegedűs Péter ,  Homolya Dániel ,  Less Áron ,  Máthé András ,  Páles Csaba 
Füzet: 1999/január, 34 - 35. oldal  PDF file
Témakör(ök): Természetes számok, Algebrai átalakítások, Teljes indukció módszere, Rekurzív sorozatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/február: F.3216

Igaz-e minden n természetes számra a
234...n<3(3)
egyenlőtlenség?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha n2, akkor rögzítsük az n értékét, és tekintsük az alábbi sorozatot:

an=n,an-1=(n-1)n=(n-1)an,...,ak=kak+1,...,a2=2a3.
A feladat kérdése az, hogy a2<3 igaz-e. Általánosabban bizonyítjuk, hogy ha n2, akkor ak<k+1, ha k=2, 3, ..., n.
Ezt k=n-ről indulva ‐ ekkor an=n<n+1 nyilvánvaló ‐ a k csökkenő értékeire vonatkozó teljes indukcióval igazoljuk, azaz megmutatjuk, hogy ha ak<k+1, akkor ak-1<k.
Valóban, ak-1=(k-1)ak<(k-1)(k+1)=k2-1<k2=k. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 Hartmann Miklós Bonyhád, Petőfi S. Gimn., 12. o.t.)

 
Megjegyzések. 1. Biró Márton (Sepsiszentgyörgy, Székely Mikó Koll., 10. o.t.) megmutatta, hogy ha a1, a2, ..., an pozitív tagú növekvő számtani sorozat, akkor
a1a2...an<a2
minden n-re.
2. Less Áron (Miskolc, Földes F,. Gimn., 12. o.t.) a kitűzöttnél erősebb
234...n<3-12n-1(3-n-12n-1)
állítást igazolta.