Tükrözzük $K$-t $P$-re, majd a tükörképet középpontosan kicsinyítsük $P$-ből úgy, hogy a kicsinyített $K\text{'}$ sokszöget $K$ tartalmazza, de $K\text{'}$-nek legyen egy olyan $A$ csúcsa, amely $K$ kerületén van. (Ez a tulajdonság $L$ konvexsége miatt a kicsinyítés arányát egyértelműen meghatározza. Ugyanakkor előfordulhat, hogy $K\text{'}$ több csúcsa ‐ pl. ha $K$ egy háromszög és $P$ a súlypontja, (1. ábra) ‐, vagy esetleg egy egész oldala ‐ (2. ábra) ‐ $K$ kerületére kerül.)
Megmutatjuk, hogy az $AP$ irányú egyenesek közül $AP$-nek esik a leghosszabb darabja $K$ belsejébe. Ehhez elegendő megmutatnunk azt, hogy az $AP$-vel párhuzamos egyenesek közül $AP$-nek esik a leghosszabb darabja $K\text{'}$ belsejébe, mert a $K$-t $K\text{'}$-be vivő leképezés megtartja az egyenesek irányát és a szakaszok arányát. Mivel $A$ rajta van $K$ kerületén, ezért $K$-nak van (legalább) egy $CD$ oldala, amely tartalmazza $A$-t. Legyen $CD$ képe a $K$-t $K\text{'}$-be vivő leképezésnél $C\text{'}D\text{'}$ (3. ábra). Ekkor $K\text{'}$ a $CD$ egyenes által meghatározott félsíkok közül is, valamint a $C\text{'}D\text{'}$ egyenes által meghatározott félsíkok közül is teljes egészében abban a félsíkban van, amelyikben $P$, mert $K\text{'}$ konvex. Azonban $C\text{'}D\text{'}$ definíciója miatt $P$ benne van a $CD$ és $C\text{'}D\text{'}$ egyenesek által határolt síkban, tehát $K\text{'}$ is teljes egészében ebben a sávban van. Ha $A\text{'}$ jelöli $A$ képét a $K$-t $K\text{'}$-be vivő leképezésnél, akkor a $P$-n átmenő $AA\text{'}$ szakaszra teljesül, hogy a $K\text{'}$-t tartalmazó $CD$ és $C\text{'}D\text{'}$ párhuzamos egyenesek által meghatározott sáv határoló egyeneseinek egy-egy pontját köti össze, és teljes egészében $K\text{'}$ belsejében van. Mivel $K\text{'}$ a $CD$ és a $C\text{'}D\text{'}$ egyenesek meghatározta sávban fekszik, azért minden, az $AA\text{'}$-vel párhuzamos egyenesből olyan szakaszt vág ki $K\text{'}$, amely része egy $AA\text{'}$ hosszúságú szakasznak. Az $AP$ irány tehát valóban eleget tesz a feladat követelményének.