Kezdőlap


Feladat:	Gy.3209	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gerencsér Balázs , Máthé András , Papp Dávid
Füzet:	1998/december, 534. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Polinomok szorzattá alakítása, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/május: Gy.3209

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

$x = 16$ esetén a bal oldal 0, így a jobb oldalnak is 0-nak kell lennie. Mivel $16 (16 - 1) \neq 0$ , ezért úgy $p (16) = 0$ , vagyis a $p (x)$ polinom $(x - 16) q (x)$ alakú. Ezt behelyettesítve:

\begin{matrix} \begin{matrix} (x - 16) (2 x - 16) q (2 x) & = 16 (x - 1) (x - 16) q (x), \\ (2 x - 16) q (2 x) & = 16 (x - 1) q (x), \\ (x - 8) q (2 x) & = 8 (x - 1) q (x) . \end{matrix} \end{matrix}

A fentiekhez hasonló módon kiemelhetünk

(x - 8)

-at,

(x - 4)

-et, végül

(x - 2)

-t:

\begin{matrix} \begin{matrix} q (x) & = (x - 8) r (x); (x - 4) r (2 x) = 4 (x - 1) r (x), \\ r (x) & = (x - 4) s (x); (x - 2) s (2 x) = 2 (x - 1) s (x), \\ s (x) & = (x - 2) t (x); (x - 1) t (2 x) = (x - 1) t (x) . \end{matrix} \end{matrix}

Tehát valamely

t (x)

polinomra

t (2 x) = t (x)

. Ekkor nyilván

t (1) = t (2) = t (4) = t (8) = ... = c

konstans, tehát a

t (x) - c

polinomnak végtelen sok megoldása sok gyöke van.
Ez csak úgy lehetséges, hogy

t (x) - c \equiv 0

, azaz

t (x) \equiv c

. Ekkor:

\begin{matrix} \begin{matrix} s (x) & = c (x - 2), r (x) = c (x - 2) (x - 4), q (x) = c (x - 2) (x - 4) (x - 8), \\ p (x) & = c (x - 2) (x - 4) (x - 8) (x - 16) . \end{matrix} \end{matrix}

Az ilyen alakú polinomokra valóban teljesül a feladatban megkövetelt egyenlőség.