Feladat: Gy.3209 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gerencsér Balázs ,  Máthé András ,  Papp Dávid 
Füzet: 1998/december, 534. oldal  PDF file
Témakör(ök): Polinomok szorzattá alakítása, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/május: Gy.3209

Mely p(x) polinomra teljesül az
(x-16)p(2x)=16(x-1)p(x)
egyenlőség? (H)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

x=16 esetén a bal oldal 0, így a jobb oldalnak is 0-nak kell lennie. Mivel 16(16-1)0, ezért úgy p(16)=0, vagyis a p(x) polinom (x-16)q(x) alakú. Ezt behelyettesítve:

(x-16)(2x-16)q(2x)=16(x-1)(x-16)q(x),(2x-16)q(2x)=16(x-1)q(x),(x-8)q(2x)=8(x-1)q(x).
A fentiekhez hasonló módon kiemelhetünk (x-8)-at, (x-4)-et, végül (x-2)-t:
q(x)=(x-8)r(x);(x-4)r(2x)=4(x-1)r(x),r(x)=(x-4)s(x);(x-2)s(2x)=2(x-1)s(x),s(x)=(x-2)t(x);(x-1)t(2x)=(x-1)t(x).
Tehát valamely t(x) polinomra t(2x)=t(x). Ekkor nyilván t(1)=t(2)=t(4)=t(8)=...=c konstans, tehát a t(x)-c polinomnak végtelen sok megoldása sok gyöke van.
Ez csak úgy lehetséges, hogy t(x)-c0, azaz t(x)c. Ekkor:
s(x)=c(x-2),r(x)=c(x-2)(x-4),q(x)=c(x-2)(x-4)(x-8),p(x)=c(x-2)(x-4)(x-8)(x-16).
Az ilyen alakú polinomokra valóban teljesül a feladatban megkövetelt egyenlőség.