Feladat: Gy.3202 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bajusz Csaba ,  Börzsönyi Ádám ,  Harangi Viktor ,  Venter György 
Füzet: 1998/december, 530. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Kocka, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/április: Gy.3202

Daraboljunk fel egy n cm élű tömör kockát 1cm élű kockákra (n természetes szám). Mely n esetén lehet a kapott kis kockákból 2n cm élű kockát összeállítani, ha megengedjük, hogy a kocka belsejében üreg is lehessen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az n cm élű feldarabolás után szétesik n3 számú 1 cm élű kockára. A 2n cm élű kocka akkor állítható össze a feltételeknek megfelelően, ha a felszínét alkotó 1 cm élű négyzetlapok mindegyikére illeszkedik kis kocka. Ez akkor teljesül, ha n3(2n)3-(2n-2)3, azaz (2n-2)37n3. Mivel az xx3 függvény kölcsönösen egyértelmű, előbbi egyenlőtlenségünk pontosan akkor igaz, ha 2n-2n73, amiből n22-7322,97. Ezért a 2n cm élű kocka a kívánt módon akkor állítható össze, ha n legalább 23.

 Bajusz Csaba (Szeged, Radnóti M. Gimn., 10. o.t.)