Feladat:	Gy.3197	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Máthé András ,  Tóth János Pál ,  Zsbán Ambrus
Füzet:	1998/december, 529. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Derékszögű háromszögek geometriája, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/március: Gy.3197

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. A vízszintes síkon lévő négy gömb bármelyikéről azt mondhatjuk, hogy két, vele ,,szomszédos'' gömböt érint, a negyedikkel pedig ,,szemben'' van. Legyen a vízszintes síkon lévő két szemközti gömb középpontja $O_1$, $O_3$, az ötödiké pedig $O_5$ a két ábra szerint felül, illetve oldalnézetben. Egy $2r$ oldalú négyzet átlójaként $O_1{O}_3=2r\sqrt[]{2}$. Az $O_1{O}_3{O}_5$ háromszög egyenlő szárú, alapja $O_1{O}_3$, szárainak hossza pedig $2r$. Ezért az alaphoz tartozó magassága $r\sqrt[]{2}$. Így az ötödik gömbnek a legmagasabban lévő pontja a vízszintes síktól $r\sqrt[]{2}+2r$ távolságra van.  Tóth János Pál (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9.o.t.)   II. megoldás. Vegyünk fel egy $x$, $y$, $z$ térbeli koordináta-rendszert úgy, hogy a vízszintes sík a $z=0$ legyen. Ha $r=1$, akkor a négy gömb középpontja pl. az $\left(1;1;1\right)$, $\left(-1;1;1\right)$, $\left(-1;-1;1\right)$ és $\left(1;-1;1\right)$ lehet, amikor az ötödik gömb középpontja a $z$ tengelyen van. Legyen ez a középpont $\left(0;0;z_0\right)$. Mivel az ötödik gömb érinti az $\left(1;1;1\right)$ középpontú gömböt, a távolságképlet alapján: $1^2+1^2+{\left(z_0-1\right)}^2=2^2$, amiből $z_0=1+\sqrt[]{2}$. Tetszőleges $r$ esetén $z_0=\left(1+\sqrt[]{2}\right)\cdot r$. Az ötödik gömb legmagasabban lévő pontja a vízszintes síktól így $z_0+r=r\sqrt[]{2}+2r$ távolságra van.  Zsbán Ambrus (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8.o.t.)