Feladat:	Gy.3184	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Babos Attila ,  Bajusz Csaba ,  Bákor Krisztina ,  Boros M. Mátyás ,  Breuer János ,  Buruzs Ádám ,  Csikvári Péter ,  Csirmaz Előd ,  Csóka Endre ,  Csordás Hunor ,  Dezső Balázs ,  Fehér Gergely ,  Földényi Tamás ,  Gerencsér Balázs ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Harangi Viktor ,  Hegedűs Ákos ,  Horváth György ,  Horváth Hedvig ,  Horváth Illés ,  Hudomiet Péter ,  Kerékfy Péter ,  Keszegh Balázs ,  Koch Dénes ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Kurcz Éva ,  Lovrics Anna ,  Máthé András ,  Molnár Zoltán ,  Nagy Tamás ,  Papp Dávid ,  Pozsonyi Gergő ,  Reviczky Ádám ,  Schmidt András ,  Somlai Gábor ,  Szilágyi Tamás ,  Szűcs Zsófia ,  Tolvaj Nándor ,  Tóth Bence ,  Ureczky Judit ,  Varjú Péter ,  Venter György ,  Zábrádi Gergely ,  Zalán Péter ,  Zempléni Márton
Füzet:	1998/december, 524 - 526. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Numerikus módszerek, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/február: Gy.3184

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Az adatok szerint $180{}^{\circ }\text{F}=100{}^{\circ }\text{C}$, azaz $1{}^{\circ }\text{F}=\frac{5}{9}{}^{\circ }\text{C}$. Az első kerekítésnél legfeljebb $\frac{1}{2}{}^{\circ }\text{F}=\frac{5}{18}{}^{\circ }\text{C}$ az eltérés. A másodiknál pedig legfeljebb $\frac{1}{2}{}^{\circ }\text{C}$. Ennek ellenére a maximális eltérés nem $\frac{1}{2}{}^{\circ }\text{C}+\frac{5}{18}{}^{\circ }\text{C}=\frac{14}{18}{}^{\circ }\text{C}$. Az egész Fahrenheit fokok ugyanis nem eshetnek a Celsius skálán pontosan két egész fok közé. Az átszámítás szerint ugyanis egy egész Fahrenheit foknak a Celsius skálán csak olyan törtszám felelhet meg, amelynek a nevezője alkalmas tört-alakban 9. Ezért a Celsius fokok kerekítésénél az eltérés $\frac{1}{2}{}^{\circ }\text{C}$ helyett legfeljebb $\frac{4}{9}{}^{\circ }\text{C}$. Így az eredetitől való eltérés is legfeljebb $\frac{4}{9}{}^{\circ }\text{C}+\frac{5}{18}{}^{\circ }\text{C}=\frac{13}{18}{}^{\circ }\text{C}$.   II. megoldás. Jelölje ${\left(x\right)}^{*}$ az $x$ számot egészre kerekítve, és legyen ${\left(x\right)}_{*}=x-{\left(x\right)}^{*}$. Ekkor ${\left(x\right)}_{*}\in \left[-\mathrm{0,5};\mathrm{0,5}\right]$. A hőmérséklet Fahrenheit fokban legyen $f$, ekkor Celsius fokban $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{f-32}{180}\cdot 100=\frac{5f-160}{9}\mathrm{,}}\end{array}$ a kérdés tehát az, hogy mekkora $\frac{5f-160}{9}-{\left(\frac{5{\left(f\right)}^{*}-160}{9}\right)}^{*}$ abszolút értékének maximuma. Ezt átalakítva: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left|\frac{5\left({\left(f\right)}^{*}+{\left(f\right)}_{*}\right)-160}{9}-{\left(\frac{5{\left(f\right)}^{*}-160}{9}\right)}^{*}\right|=}\\ \hfill {\displaystyle =\left|\frac{5{\left(f\right)}^{*}-160}{9}-{\left(\frac{5{\left(f\right)}^{*}-160}{9}\right)}^{*}+\frac{5{\left(f\right)}_{*}}{9}\right|=}\\ \hfill {\displaystyle =\left|{\left(\frac{5{\left(f\right)}^{*}-160}{9}\right)}_{*}+\frac{5{\left(f\right)}_{*}}{9}\right|\le \left|{\left(\frac{5{\left(f\right)}^{*}-160}{9}\right)}_{*}\right|+\left|\frac{5{\left(f\right)}_{*}}{9}\right|\mathrm{.}}\end{array}}}\end{array}$ Az első tag maximuma $\frac{4}{9}$, mert benne a számláló egész, a nevező pedig 9. A második tag pedig legfeljebb $\frac{5\cdot \frac{1}{2}}{9}=\frac{5}{18}$, vagyis az összeg legfeljebb $\frac{4}{9}+\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$. A keresett különbség így biztosan nem nagyobb $\frac{13}{18}$-nál. Az $f=\mathrm{32,5}$ választás esetén egyenlőség van, tehát a maximális eltérés Celsius fokban $\frac{13}{18}$.  Máthé András Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gimn., 10. o.t.)