Feladat: Gy.3184 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Babos Attila ,  Bajusz Csaba ,  Bákor Krisztina ,  Boros M. Mátyás ,  Breuer János ,  Buruzs Ádám ,  Csikvári Péter ,  Csirmaz Előd ,  Csóka Endre ,  Csordás Hunor ,  Dezső Balázs ,  Fehér Gergely ,  Földényi Tamás ,  Gerencsér Balázs ,  Gyenes Zoltán ,  Győri Nikolett ,  Harangi Viktor ,  Hegedűs Ákos ,  Horváth György ,  Horváth Hedvig ,  Horváth Illés ,  Hudomiet Péter ,  Kerékfy Péter ,  Keszegh Balázs ,  Koch Dénes ,  Kunszenti-Kovács Dávid ,  Kurcz Éva ,  Lovrics Anna ,  Máthé András ,  Molnár Zoltán ,  Nagy Tamás ,  Papp Dávid ,  Pozsonyi Gergő ,  Reviczky Ádám ,  Schmidt András ,  Somlai Gábor ,  Szilágyi Tamás ,  Szűcs Zsófia ,  Tolvaj Nándor ,  Tóth Bence ,  Ureczky Judit ,  Varjú Péter ,  Venter György ,  Zábrádi Gergely ,  Zalán Péter ,  Zempléni Márton 
Füzet: 1998/december, 524 - 526. oldal  PDF file
Témakör(ök): Numerikus módszerek, Abszolútértékes egyenlőtlenségek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/február: Gy.3184

Amerikában a hőmérsékletet Fahrenheit fokban mérik. Ez egy egyenletes skála, amelyben a víz fagyáspontja 32F és a forráspontja 212F.
Valaki megadja a hőmérsékletet egész Fahrenheit fokokra kerekítve, amit mi átváltunk Celsiusra, és utána ismét egész fokokra kerekítünk. Legfeljebb mekkora lehet a kapott értéknek az eredeti hőmérséklettől való eltérése Celsius fokokban?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Az adatok szerint 180F=100C, azaz 1F=59C.
Az első kerekítésnél legfeljebb 12F=518C az eltérés. A másodiknál pedig legfeljebb 12C. Ennek ellenére a maximális eltérés nem 12C+518C=1418C.
Az egész Fahrenheit fokok ugyanis nem eshetnek a Celsius skálán pontosan két egész fok közé. Az átszámítás szerint ugyanis egy egész Fahrenheit foknak a Celsius skálán csak olyan törtszám felelhet meg, amelynek a nevezője alkalmas tört-alakban 9. Ezért a Celsius fokok kerekítésénél az eltérés 12C helyett legfeljebb 49C.
Így az eredetitől való eltérés is legfeljebb 49C+518C=1318C.
 
II. megoldás. Jelölje (x)* az x számot egészre kerekítve, és legyen (x)*=x-(x)*. Ekkor (x)*[-0,5;0,5].
A hőmérséklet Fahrenheit fokban legyen f, ekkor Celsius fokban
f-32180100=5f-1609,
a kérdés tehát az, hogy mekkora 5f-1609-(5(f)*-1609)* abszolút értékének maximuma. Ezt átalakítva:
|5((f)*+(f)*)-1609-(5(f)*-1609)*|==|5(f)*-1609-(5(f)*-1609)*+5(f)*9|==|(5(f)*-1609)*+5(f)*9||(5(f)*-1609)*|+|5(f)*9|.
Az első tag maximuma 49, mert benne a számláló egész, a nevező pedig 9. A második tag pedig legfeljebb 5129=518, vagyis az összeg legfeljebb 49+518=1318. A keresett különbség így biztosan nem nagyobb 1318-nál.
Az f=32,5 választás esetén egyenlőség van, tehát a maximális eltérés Celsius fokban 1318.
 Máthé András Budapest, ELTE Apáczai Csere J. Gimn., 10. o.t.)