Feladat: Gy.3177 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csirmaz Előd ,  Harangi Viktor ,  Keszegh Balázs ,  Kiss Gergely ,  Lovrics Anna ,  Máthé András ,  Pozsgay Balázs ,  Venter György 
Füzet: 1998/december, 523 - 524. oldal  PDF file
Témakör(ök): Klasszikus valószínűség, Kombinatorikai leszámolási problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/január: Gy.3177

A Bajnokcsapatok Európa Kupa legjobb 16 csapata közé bejutott két magyar csapat is: a Bolyai TC, és az Eötvös TK. Mi a valószínűsége, hogy egymás ellen játszanak? (A verseny egyenes kiesési rendben folyik; két csapat találkozóján az egyik továbbjut, a másik végleg kiesik.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha egyenes kiesési rend szerint játszanak, először párokat alakítanak a csapatokból (8 darabot), és ezek a párok játszanak. A továbbjutó 8 csapatból ismét párokat alakítanak stb. (Az ábra 8 kezdőcsapatra mutatja a játékok elrendeződését.)
A 16 csapat összesen 8+4+2+1=15 mérkőzést játszik, és bármely két csapat 1 vagy 0 mérkőzést játszik egymással.
A párokat véletlenszerűen alakítják a 16 csapatból. Ezt azonban úgy is felfoghatjuk, hogy a párok és a mérkőzések adottak (tehát az is, kik jutnak tovább), és ebbe az ábrába ,,sorsolják be'' a csapatokat. Ebből a felfogásból kiindulva úgy is gondolhatjuk, hogy a 16 csapat közül (amelyek között tehát adottak a meccsek, hogy ki jut tovább stb.) kiválasztjuk azt a kettőt, amelyek közül az egyik a Bolyai TC, a másik az Eötvös TK. Arra vagyunk kíváncsiak, e két csapat játszik-e egymással.
A kiválasztást 1615/2=120-féleképpen tehetjük meg. Mivel 15 mérkőzés van, és bármely két csapat legfeljebb egyszer találkozik, 15 olyan csapat-pár van, amelyek játszanak egymással, a többiek között pedig nincs mérkőzés.
A valószínűség ebből: Jó esetek számaösszes esetek száma=15120=18. Ezzel a valószínűséget megkaptuk.
A feladatot általánosíthatjuk 2n csapat esetére. Ekkor összesen 2n-1+2n-2+...+2+1=2n-1 mérkőzést játszanak (hiszen minden meccsen egy csapat esik ki). Két csapatot most (2n2)=2n(2n-1)2-féleképpen választhatunk ki, így a keresett valószínűség:

2n-122(2n-1)2=22n=12n-1.

 Csirmaz Előd (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.)

 
Megjegyzés. Tetszett, hogy Máthé András és Kiss Gergely még általánosabban oldották meg a gyakorlatot, Máthé András ugyanis ezt írja: ,,Bár a feladatban nem volt benne, hogy labdarúgásról lenne szó, mi azért feltehetjük, hogy a magyar csapatok és a többi csapat nem ugyanúgy játszik. Legyen ezért a magyar csapat nyerési esélye bármelyik idegen csapattal szemben q...''