Feladat: Gy.3186 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Andrássy Zoltán ,  Bárány Zsófi ,  Buruzs Ádám ,  Börcsök József ,  Csikvári Péter ,  Gelencsér Gábor ,  Gyenes Zoltán ,  Harangi Viktor ,  Horváth Dénes ,  Horváth György ,  Horváth Hedvig ,  Horváth Szilárd ,  Kiss Norbert ,  Lovrics Klára ,  Máthé András ,  Pozsár Balázs ,  Szászi Zsuzsanna ,  Szekeres Nóra ,  Varga Balázs ,  Wittner Lilla ,  Zábrádi Gergely 
Füzet: 1998/november, 484 - 485. oldal  PDF file
Témakör(ök): Magasságvonal, Súlyvonal, Háromszögek szerkesztése, Diszkusszió, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/február: Gy.3186

Szerkesszünk háromszöget egyik csúcsából induló magasságának és súlyvonalának hosszából, ha ismerjük a csúcs és a magasságpont távolságát is.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
I. megoldás. Legyen az A csúcsból húzott magasság, m és súlyvonal, s adott. Használjuk az ábra további jelöléseit is. Ismeretes, hogy bármely háromszög M magasságpontjának egy oldalra vonatkozó M' tükörképe a körülírt körre illeszkedik. Az ábra ATF (esetleg elfajuló) derékszögű háromszöge az ms feltétel mellett mindig megszerkeszthető. Mivel AM' a körülírt kör egy húrja, ennek felező merőlegese és a TF egyenesre F-ben állított merőleges a kör O középpontjában metszik egymást. Az O körüli AO sugarú kör a TF egyenesből kimetszi a B, C csúcsokat. A TF egyenes akkor is egyértelműen létezik, ha TF.
Diszkusszió: Már megállapítottuk, hogy ms szükséges. Ha 0<AMm, akkor két megoldás lehet, ugyanis M elhelyezkedhet az AT szakaszon vagy annak A-n túli meghosszabbításán. Ha M az AT szakasz belső pontja, akkor az egyik megoldás hegyesszögű háromszög (ha MT, akkor derékszögű). A másik megoldás nyilván tompaszögű háromszög. Ha AM>m, akkor csak egy megoldás lesz, a tompaszögű. Megállapításaink az m=s esetben is érvényesek, amikor is a megoldás(ok) egyenlő szárú háromszög(ek).
Hátravan még annak igazolása, hogy a B és C metszéspontok az ms feltétel esetén mindig létrejönnek. Az SAM és SFO háromszögek 2:1 arányú hasonlósága révén AM=2FO (lásd még a II. megoldást). Ebből látható, hogy hegyesszögű és derékszögű háromszög megoldás esetén AO>12AM'12AM=FO, tehát az O körüli AO sugarú kör valóban metszi a TF egyenest. A tompaszögű megoldás esetén ez a metszés még nyilvánvalóbb, hiszen akkor O és A a TF más-más félsíkjában van. Végül belátjuk, hogy az AM esetben OF, és most is egy (derékszögű) megoldás van.
 Andrássy Zoltán (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 9. o.t.)

 
II. megoldás. Tudjuk, hogy az M, S, O pontok egy egyenesre illeszkednek (Euler-egyenes), és MS:SO=2:1. Szerkesszük meg az ATF háromszöget, majd ennek AF oldalán az S pontot. Ezután a fenti arány alapján kapjuk az O pontot. Az O körüli AO sugarú kör és a TF egyenes közös pontjai a hiányzó csúcsok.
 Harangi Viktor (Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn., 8. o.t.)