Feladat:	F.3212	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Homolya Dániel ,  Juhász András ,  Less Áron ,  Pap Júlia
Füzet:	1998/október, 413 - 415. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Thalesz tétel és megfordítása, Szögfelező egyenes, Körülírt kör, Pont körüli forgatás, Pont körre vonatkozó hatványa, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/január: F.3212

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. Jelöljük az $AEF$ háromszög köré írható kör középpontját $O$-val, az $E$ pont $O$-ra vonatkozó tükörképét pedig $D$-vel (1. ábra). Ekkor Thalész tétele miatt $EFD\sphericalangle ={90}^{\circ }$, vagyis a $B$ pont $FD$ egyenesre vonatkozó tükörképe $C$, tehát $CD=DB$. Felhasználva a kerületi szögek tételét és azt, hogy $AE$ szögfelező a $CAB$ háromszögben, kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle C_{1}DE\sphericalangle =C_{1}AE\sphericalangle =EA{B}_1\sphericalangle =ED{B}_1\sphericalangle \mathrm{.}}\end{array}$ (1) Mivel $ED$ átmérője a körnek, azért $C_{1}D=B_{1}D$. Forgassuk el az $AC$ egyenest $D$ körül $CAB\sphericalangle$-gel. Az (1) szögegyenlőségekből következik, hogy $C_{1}D{B}_1\sphericalangle =CAB\sphericalangle$, s így $C_{1}D=B_{1}D$ miatt $C_1$ képe a forgatásnál $B_1$ lesz, az $AC$ egyenes képe pedig az $AB$ egyenes. Mivel $CD=BD$ és az $ABD\sphericalangle$ is, valamint az $ACD\sphericalangle$ is hegyesszög, azért $C$ képe a forgatásnál csak $B$ lehet. Ez viszont azt jelenti, hogy a forgatásnál a $C_{1}C$ szakasz képe $B_{1}B$, tehát felhasználva, hogy a forgatás egybevágósági transzformáció, kapjuk, hogy $B{B}_1=C{C}_1$.  Pap Júlia      (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 11. o.t.)   II. megoldás. Jelöljük az $ABC$ háromszög oldalait a szokásos módon $a$, $b$, $c$-vel, az $AEF$ háromszög köré írt kört pedig $k$-val. $F$ a $BC$ oldal felezőpontja, ezért $\begin{array}{c}{\displaystyle CF=BF=\frac{a}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ A szögfelezőtétel szerint $\frac{CE}{EB}=\frac{b}{c}$, továbbá $CE+EB=a$. Így $\begin{array}{c}{\displaystyle CE=\frac{b\cdot a}{b+c}\text{és}BE=\frac{c\cdot a}{b+c}\mathrm{.}}\end{array}$ A $C$ pont $k$-ra vonatkozó hatványát kétféleképpen felírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle C{C}_1\cdot CA=CE\cdot CF\mathrm{,}\text{amiből}C{C}_1=\frac{CE\cdot CF}{CA}=\frac{\frac{b\cdot a}{b+c}\cdot \frac{a}{2}}{b}=\frac{a^2}{2\left(b+c\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ A $B$ pont $k$-ra vonatkozó hatványát hasonlóan felírva: $\begin{array}{c}{\displaystyle B{B}_1\cdot BA=BF\cdot BE\mathrm{,}\text{amiből}B{B}_1=\frac{BF\cdot BE}{BA}=\frac{\frac{a}{2}\cdot \frac{c\cdot a}{b+c}}{c}=\frac{a^2}{2\left(b+c\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ Ezzel megmutattuk, hogy $B{B}_1=C{C}_1=\frac{a^2}{2\left(b+c\right)}$.