Kezdőlap


Feladat:	Gy.3196	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Juhász Ágnes , Máthé András
Füzet:	1998/október, 409. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hossz, kerület, Trigonometriai azonosságok, Vetítések, Háromszög területe, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/március: Gy.3196

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit. Az $A B_{1}$ , $A B_{2}$ , $...$ , $A B_{6}$ szakaszok rendre $cos 30^{\circ}$ , $cos^{2} 30^{\circ}$ , $...$ , $cos^{6} 30^{\circ}$ . Ezért a $B_{0} B_{1}$ , $B_{1} B_{2}$ , $...$ , $B_{5} B_{6}$ rendre $sin 30^{\circ}$ , $sin 30^{\circ} \cdot cos 30^{\circ}$ , $...$ , $sin 30^{\circ} \cdot cos^{5} 30^{\circ}$ .
A töröttvonal $L$ hosszúsága:

\begin{matrix} \begin{matrix} L = sin 30^{\circ} (1 + cos 30^{\circ} + cos^{2} 30^{\circ} + ... + cos^{5} 30^{\circ}) = \\ = \frac{1}{2} [1 + \frac{\sqrt[]{3}}{2} + {(\frac{\sqrt[]{3}}{2})}^{2} + ... + {(\frac{\sqrt[]{3}}{2})}^{5}] = \frac{37 (2 + \sqrt[]{3})}{64} . \end{matrix} \end{matrix}

A sokszög

T

területét az azt alkotó háromszögek területének összegeként határozzuk meg.

\begin{matrix} \begin{matrix} T = \frac{1}{2} (sin 30^{\circ} \cdot cos 30^{\circ} + sin 30^{\circ} \cdot cos^{3} 30^{\circ} + ... + sin 30^{\circ} \cdot cos^{11} 30^{\circ}) = \\ = \frac{1}{2} sin 30^{\circ} \cdot cos 30^{\circ} (1 + cos^{2} 30^{\circ} + cos^{4} 30^{\circ} + ... + cos^{10} 30^{\circ}) = \frac{3367 \sqrt[]{3}}{8192} . \end{matrix} \end{matrix}

Juhász Ágnes (Miskolc, Avasi Gimn., 10. o.t.)

Megjegyzés. Máthé András (Bp., Apáczai Cs. J. Gimn., 10. o.t.) általánosította a feladatot

n + 1

olyan félegyenesre, amelyek közül bármelyik két szomszédos

\frac{π}{n}

szöget zár be. Ekkor

α = \frac{π}{n}

jelöléssel

\begin{matrix} L = sin α \frac{1 - cos^{n} α}{1 - cos α}, T = \frac{1}{2} sin α cos α \frac{1 - cos^{2 n} α}{1 - cos^{2} α} . \end{matrix}