Kezdőlap


Feladat:	Gy.3195	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Árvay Eszter , Börcsök József , Deli Lajos , Ekler Márton , Gérecz Balázs , Máthé András
Füzet:	1998/október, 408. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Beírt kör, Pont körüli forgatás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/március: Gy.3195

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit. Azt kell bizonyítanunk, hogy

C_{1} C_{2} = A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2}

. Az ábrán

\frac{β}{2}

-vel jelölt szögek egyenlők, hiszen

B O

szögfelező.

B O C_{1} ∢ = B O A_{1} ∢ = \frac{β}{2}

, mert ezek a szögek a

\frac{β}{2}

-vel jelölt szögek váltószögei. Ezért a

B O C_{1}

és

B O A_{1}

háromszögek egyenlő szárú, egybevágó háromszögek, amiért a

B A_{1} O C_{1}

négyszög rombusz. A körhöz egy külső pontból húzott érintőszakaszok hossza egyenlő, tehát

B T = B A_{2}

, amely szakaszból kivonva az előbbi rombusz oldalát:

\begin{matrix} C_{1} T = A_{1} A_{2} . \end{matrix}

(1)

Ugyanígy megmutatható, hogy

\begin{matrix} T C_{2} = B_{1} B_{2} . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) egyenlőségeket összeadva a feladat állítását kapjuk.

Árvay Eszter (Szekszárd, Garay J. Gimn., 9. o.t.)

Börcsök József (Debrecen, Fazekas M. Gimn., 9. o.t.)

II. megoldás. Az ábra egy ívvel jelölt szögei

α

-val, a két ívvel jelöltek

β

-val egyállású szögek. Az

A B C

háromszög derékszögű, ezért

α + β = 90^{\circ}

. Forgassuk el az

O A_{1} A_{2}

háromszöget

O

körül

+ 90^{\circ}

-kal. A forgatás tulajdonságaiból következik, hogy

A_{2}

képe

B_{1}

, az

A_{1}

pont

A_{1}'

képe pedig illeszkedik

A C

-re. A szögekre tett észrevételeink szerint az

A_{1}' B_{2} O

háromszög derékszögű és egybevágó a

C_{1} C_{2} O

háromszöggel, ugyanis megegyeznek az átfogóhoz tartozó magasságukban és szögeikben. Ezért

C_{1} C_{2} = A_{1}' B_{2} = A_{1}' B_{1} + B_{1} B_{2} = A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2}

Ekler Márton (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., 9. o.t.)