Feladat: Gy.3188 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Papp Dávid ,  Szintai Balázs 
Füzet: 1998/szeptember, 351 - 352. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tetraéderek, Háromszög-egyenlőtlenség alkalmazásai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/február: Gy.3188

Bizonyítsuk be, hogy bármely tetraédernek van olyan csúcsa, amelybe befutó élekből szerkeszthető háromszög.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt kell bizonyítanunk, hogy minden tetraédernek van olyan csúcsa, amelyből kiinduló három élre teljesül: bármelyik kettő hosszának összege nagyobb, mint a harmadik hosszúsága. Megmutatjuk, hogy a leghosszabb él egyik végpontjából kiinduló 3 él ilyen. Legyen a leghosszabb él a. Az a leghosszabb volta azt jelenti, hogy a nem kisebb a többi él egyikénél sem. Az ábra háromszögeiből b+c>a és d+e>a. Ezt a két egyenlőtlenséget összeadva: (b+e)+(c+d)>2a, amiből rögtön kapjuk, hogy c+d>a vagy b+e>a. Ha pl. a c+d>a egyenlőtlenség teljesül, akkor mivel a a leghosszabb él, a+c>d és a+d>c is teljesül, tehát az a, c, d élekből háromszög szerkeszthető.

 Szintai Balázs (Szekszárd, Garay J. Gimn., 9. o.t.)