Kezdőlap


Feladat:	Gy.3180	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Juhász András , Máthé András
Füzet:	1998/szeptember, 350 - 351. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszög területe, Szögfelező egyenes, Háromszögek hasonlósága, Heron-képlet, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/január: Gy.3180

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Használjuk az ábra jelöléseit; az ábrán $f$ jelöli a kérdéses szögfelező hosszát. A $B$ ponton át $f$ -fel húzott párhuzamos az $A C$ egyenest messe $D$ -ben. Legyen a $B D$ szakasz felezőpontja $E$ . Az $\frac{α}{2}$ -vel jelölt szögek egyenlősége révén $A B = c$ , és így

\begin{matrix} B D = 2 \cdot B E = 2 c \cdot cos \frac{α}{2} . \end{matrix}

(1)

A párhuzamos szelők tétele szerint

\frac{f}{B D} = \frac{b}{b + c}

, amiből (1) felhasználásával

\begin{matrix} f = 2 \frac{b \cdot c}{b + c} cos \frac{α}{2} . \end{matrix}

(2)

Ezután a feladatot úgy próbáljuk megoldani, hogy meghatározzuk

tg \frac{α}{2}

-t, abból pedig

cos \frac{α}{2}

értékét. Ismeretes, hogy a beírt körhöz az

A

csúcsból húzott érintőszakasz hossza

s - a

, ezért

tg \frac{α}{2} = \frac{r}{s - a}

. Felhasználjuk még, hogy a háromszög területe

t = r \cdot s

, továbbá a Héron-képletet. Ekkor

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \frac{r \cdot s}{s (s - a)} = \frac{t}{s (s - a)} = \sqrt[]{\frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}} . \end{matrix}

(3)

A feladat feltétele szerint

\begin{matrix} t = (a - b + c) (a + b - c) = 4 (s - b) (s - c), \end{matrix}

és így

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \frac{r \cdot s}{s (s - a)} = \frac{4 \cdot (s - b) (s - c)}{s (s - a)}, \end{matrix}

amiből

\frac{1}{4} \cdot tg \frac{α}{2} = \frac{(s - b) (s - c)}{s (s - a)}

. Ezt (3)-ba behelyettesítve:

\begin{matrix} tg \frac{α}{2} = \sqrt[]{\frac{1}{4} \cdot tg \frac{α}{2}}, amiből tg \frac{α}{2} = \frac{1}{4} . \end{matrix}

| cos x | = \frac{1}{\sqrt[]{1 + tg^{2} x}}

összefüggés alapján

cos \frac{α}{2} = \frac{4}{\sqrt[]{17}}

, és ezzel (2)-ből

f = \frac{8}{\sqrt[]{17}} \frac{b \cdot c}{b + c}

, amint az bizonyítandó volt.