Feladat: N.161 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bérczi Gergely ,  Hegedűs Péter ,  Lukács László ,  Pataki Péter 
Füzet: 1998/május, 291. oldal  PDF file
Témakör(ök): Polinomok szorzattá alakítása, Prímszámok, Nehéz feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/január: N.161

Legyenek a p polinom együtthatói legfeljebb 1998 abszolút értékű egész számok, és p(2000) prímszám. Igazoljuk, hogy p nem bontható fel két, legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzatára.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először lássuk be, hogy p komplex gyökei 1999-nél kisebb abszolút értékűek. Tegyük fel, hogy ezzel ellentétben |x|1999, xC-re

p(x)=anx2+...+a0=0(an0).
Ekkor a feladat feltételeit kihasználva:
|xn||anxn|=|an-1xn-1+...+a0||an-1xn-1|+...+|a0|1998(|x|n-1+...+1)=1998|x|n-1|x|-11998|xn|-11999-1=|xn|-1.
Ez ellentmondás, tehát p(x)=an(x-x1)...(x-xn), ahol |xi|<1999.
Tegyük fel, hogy a feladat állítása hamis, azaz p=9h, ahol g és h egész együtthatós polinomok. Így p(2000)=g(2000)h(2000) prím, azaz valamelyik tényező 1 abszolút értékű. Legyen például |g(2000)|=1. Nyilván
g(x)=b(x-xi1)...(x-xik)
(ahol 1i1<...<ikn és b0 egész), hiszen gp. Ezért
1=|g(2000)|=|b||2000-xi1|...|2000-xik|.
Ez viszont ellentmondás, mert a jobb oldali szorzat 1-nél nagyobb abszolút értékű |xi|<1999 miatt.
 
Megjegyzés. Az állítás és a bizonyítás is helyes marad, ha 2000 helyére nagyobb egészt írunk.