A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először tekintsük az -szög egyik oldalát. Válasszuk ehhez a sokszög (egyik) olyan csúcsát, amelyből ez az oldal a legnagyobb szögben látszik. Ha az oldal végpontjait összekötjük ezzel a csúccsal, akkor egy megfelelő háromszöget kapunk. Tegyük fel, hogy eljutottunk a háromszögek konstrukciójával egy háromszögig úgy, hogy eddig minden háromszög ,,jó'', azaz egyik köré írt kör sem tartalmazza belsejében a sokszög semelyik csúcsát és az háromszög oldalán túl még nincs kijelölve egyetlen háromszög sem. Most jelöljük ki az háromszöget is, amire az egyenes túloldalán van, és belőle a lehető legnagyobb szögben látszik. Az nyilvánvaló, hogy nem tartalmaz ,,túloldali'' csúcsot. A felőli oldalon sem tartalmaz csúcspontot, mert -nek ez a része belsejében van (hiszen a túloldali -n kívül van) és a -ről feltettük, hogy jó. Ezzel egy megfelelő háromszöggel bővítettük az ábrát. Amikor már nem lehet folytatni az eljárást, akkor a háromszögek lefedik az -szöget. Az is világos, hogy átlót húztunk be, és ezek nem metszik egymást.
Pap Júlia (Debrecen, Fazekas M. Gimn., III. o.t.) |
Megjegyzések. 1. Végh A. László úgy adta meg a háromszögeket, hogy a köréírt köreik sugarainak összege minimális legyen. 2. Bérczi Gergely az ún. Voronoi-mozaik segítségével azt is belátta, hogy az állítás akkor is igaz, ha a pontok nem alkotnak konvex sokszöget, és a ,,háromszögelés'' lényegében egyértelmű. (Azaz ha pl. nincs négy pont egy körön, akkor egyértelmű.) A Voronoi-mozaik a következő: adott a sík pontja, minden ponthoz rendeljük hozzá az pont közül a legközelebbit. Így tartományra esik szét a sík, mind az ponthoz tartozik egy-egy. Két pontot akkor kössünk össze, ha szomszédos tartományban fekszenek. Így már majdnem felbontottuk háromszögekre a pontok konvex burkát: ha maradt több csúcsú sokszög, akkor az a húrnégyszöghöz hasonlóan helyezkedik el. Az ilyen húrsokszögeket tetszőlegesen felbonthatjuk.
|