Kezdőlap


Feladat:	C.508	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csató György , Gajdos Béla
Füzet:	1998/december, 519 - 520. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Mozgási geometria, Trigonometriai azonosságok, Derékszögű háromszögek geometriája, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/május: C.508

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövege alapján a következő ábrát készíthetjük el:
Jelöljük a vonat helyzetét a kitekintés pillanatában $A$ -val, az 5 másodperc alatt megtett út végpontját $B$ -vel, a henger képzeletbeli középpontját $P$ -vel, és a $P$ pont vetületét az $A B$ -n $C$ -vel. Ha kezdetben $x$ méterre voltunk a tárolótól, akkor $A B = 5 s \cdot \frac{26 m}{s} = 130 m$ megtétele után $x - 100$ méterre vagyunk, és $A P B ∢ = 5^{\circ}$ . Azt az időt keressük, amíg a vonat az $y = \bar{B C}$ távolságot megteszi (Hiszen $C$ után távolodunk $P$ -től.)
Az $A P B$ háromszögre felírhatjuk a koszinusztételt:

\begin{matrix} 130^{2} = x^{2} + {(x - 100)}^{2} - 2 x (x - 100) cos 5^{\circ} . \end{matrix}

Innen

x

-re egy másodfokú egyenletet kapunk, amelynek pozitív gyöke

x \approx 903,48

.
A

B P C

és az

A P C

derékszögű háromszögekből:

\begin{matrix} \begin{matrix} y^{2} + P C^{2} = {(x - 100)}^{2}, \\ {(y + 130)}^{2} + P C^{2} = x^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

Rendezve

\begin{matrix} \begin{matrix} y^{2} + P C^{2} = x^{2} - 200 x + 100^{2} \\ y^{2} + P C^{2} + 260 y + 130^{2} = x^{2} . \end{matrix} \end{matrix}

A második egyenlet megfelelő oldalaiból kivonva az első egyenlet megfelelő oldalait:

\begin{matrix} \begin{matrix} 260 y + 130^{2} = 200 x - 100^{2}, \\ 260 y - 200 x = - (130^{2} + 100^{2}) = - 10^{2} (13^{2} + 10^{2}) = - 10^{2} \cdot 269, \\ 26 y - 20 x = - 2690. \end{matrix} \end{matrix}

Helyettesítsük be az előbb kapott

x \approx 903,48

értéket:

y \approx 591,5

, és mivel a vonat sebessége 26 m/s, ezt az utat

\frac{591,5}{26} \approx 22,75

másodperc alatt teszi meg.

Csató György Hajdúszoboszló, Hőgyes E. Gimn., 9. o.t.)