Feladat: C.506 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Horváth László 
Füzet: 1998/december, 518. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/május: C.506

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel m egész szám, azért 2m-3≠0. n-1 sem lehet 0, hiszen egyébként az egyenletből -1=0 következnék, ami lehetetlen. Adjunk az egyenlet mindkét oldalához 1-et, és osszuk el mindkét oldalt a (2m-3)(n-1)≠0-val.

x2+(m-n-4)x-2(m-n-2)=1(2m-3)(n-1).
Ha x1 és x2 a fenti egyenlet gyökei, akkor
x1+x2=-(m-n-4)ésx1x2=-[2(m-n-2)+1(2m-3)(n-1)].
Mivel m és n egészek, x1+x2 is egész. Ha a gyökök szorzata egész, akkor 1(2m-3)(n-1) is egész. Ez akkor teljesül, ha a nevező +1 vagy -1. Vizsgáljuk meg a két esetet:
(A) Ha a nevező 1, akkor 2m-3=1 és n-1=1, vagy 2m-3=-1 és n-1=-1.
Az első esetben m=2 és n=2, a második esetben m=1 és n=0.
Nézzük meg, hogy m és n kapott értékei mellett mik az egyenlet gyökei.
Ha m=2 és n=2, akkor az (1) egyenlet x2-4x+3=0, ahonnan x1=3, x2=1. A gyökök most egész számok.
Ha n=1 és n=0, akkor az (1) egyenlet x2-3x+1=0 és x1,2=3±52, ezek pedig nem egész számok.
(B) Ha a nevező -1, akkor 2m-3=1 és n-1=-1, vagy pedig 2m-3=-1 és n-1=1. Az első esetben m=2, n=0, a második esetben m=1 és n=2.
Az m=2 és n=0 esetben a kapott egyenlet gyökei egész számok lesznek (x2-2x+1=0; x1,2=1), a második esetben viszont az egyenletnek nincs valós gyöke.
Az (1) egyenletnek tehát csak az m=2, n=2 és az m=2, n=0 esetekben lesznek egész gyökei.
 Horváth László (Csurgó, Nagyváthy Középisk., 10. o.t.)