Feladat: C.504 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1998/december, 517 - 518. oldal  PDF file
Témakör(ök): Térbeli ponthalmazok távolsága, Térgeometriai szerkesztések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1998/április: C.504

Adottak a térben az A, B, C, D, E, F pontok. A pontok milyen elhelyezkedése esetén létezik olyan sík, amelytől a pontok egyenlő távolságra vannak, és amely az A, B, C ponthármast elválasztja a D, E, F pontoktól?
*Általános iskolások részére javasolt példák: C. 501., C. 503., Gy. 3198., Gy. 3201.

*

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tudjuk, hogy három pont ‐ ha nincs egy egyenesen ‐ mindig meghatároz egy síkot. A három ponttól egyenlő távolságra pedig a pontok által meghatározott síkkal párhuzamos síkok vannak. A feladat szerint olyan síkot kell keresni, amely mind a 6 ponttól egyenlő távolságra van, és 3‐3 pontot elválaszt. Ez csak úgy lehetséges, ha az A, B, C pontok által meghatározott S1 sík párhuzamos a D, E, F pontokkal meghatározott S2 síkkal. Ekkor a keresett sík is párhuzamos az S1, S2 síkok mindegyikével és azokat elválasztja. Ilyen sík létezik, és csak egy ilyen sík van, az S1, S2 távolságát felező mindkettővel párhuzamos sík.
Ha az A, B, C pontok egy e egyenesen vannak, akkor a D, E, F pontok által meghatározott S síknak párhuzamosnak kell lennie az e egyenessel. Az előzőhöz hasonlóan most is van egy olyan sík, amelyik elválasztja az e egyenest és az S síkot, és mindkettőtől egyenlő távolságra van.
Ha az A, B, C és D, E, F pontok egy-egy egyenesen vannak, akkor a két egyenesnek vagy párhuzamosnak, vagy kitérőnek kell lennie.
Ha a két egyenes párhuzamos, akkor végtelen sok olyan sík van, amelyik mindkettőtől egyenlő távolságra van. A két egyenes távolságának felezőpontján átmenő bármelyik sík megfelelő.
Ha a két egyenes kitérő, akkor pontosan egy megfelelő sík van, a két egyenes távolságát meghatározó szakasz felező merőleges síkja.