Kezdőlap


Feladat:	C.502	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bákor Krisztina , Biró Márton , Boros M. Mátyás , Fall Zoltán , Kovács Adrienn , Lovas Róbert
Füzet:	1998/október, 403 - 404. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, C gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1998/április: C.502

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $x^{2} - 2 b x + b^{2} - c^{2} = 0$ másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x_{1,2} = \frac{2 b \pm \sqrt[]{4 b^{2} - 4 (b^{2} - c^{2})}}{2} = \frac{2 b \pm 2 c}{2} = b \pm c, \end{matrix}

x_{1} = b + c

x_{2} = b - c

y_{1}

és

y_{2}

pontosan akkor gyökei az

x^{2} - 2 b (b^{2} + 3 c^{2}) x + {(b^{2} - c^{2})}^{3} = 0

egyenletnek, ha (a gyökök és együtthatók közti összefüggés szerint) teljesülnek az alábbi egyenlőségek:

\begin{matrix} \begin{matrix} y_{1} + y_{2} & = 2 b (b^{2} + 3 c^{2}), \\ y_{1} y_{2} & = {(b^{2} - c^{2})}^{3} . \end{matrix} \end{matrix}

Helyettesítsük be

x_{1}

és

x_{2}

fenti értékeit:

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {(b + c)}^{3} + {(b - c)}^{3} = b^{3} + 3 b^{2} c + 3 b c^{2} + c^{3} + b^{3} - 3 b^{2} c + 3 b c^{2} - c^{3} = \\ = 2 b^{3} + 6 b c^{2} = 2 b (b^{2} + 3 c^{2}), \end{matrix} \end{matrix}

és

\begin{matrix} \begin{matrix} x_{1}^{3} \cdot x_{2}^{3} = {(x_{1} \cdot x_{2})}^{3} = {[(b + c) (b - c)]}^{3} = {(b^{2} - c^{2})}^{3} . \end{matrix} \end{matrix}

Tehát valóban teljesülnek az egyenlőségek.